Come calcolare la varianza di una distribuzione di Poisson
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La varianza di una distribuzione di una variabile casuale è una caratteristica importante. Questo numero indica la diffusione di una distribuzione e si trova quadrando la deviazione standard. Una distribuzione discreta comunemente usata è quella della distribuzione di Poisson. Vedremo come calcolare la varianza della distribuzione di Poisson con il parametro λ.
La distribuzione di Poisson
Le distribuzioni di Poisson vengono utilizzate quando abbiamo un continuum di qualche tipo e contiamo i cambiamenti discreti all'interno di questo continuum. Ciò si verifica quando si considera il numero di persone che arrivano allo sportello di un biglietto del cinema nel corso di un'ora, si tiene traccia del numero di auto che attraversano un incrocio con una fermata a quattro vie o si conta il numero di difetti che si verificano in una lunghezza di filo.
Se facciamo alcuni assunti chiarificatori in questi scenari, allora queste situazioni corrispondono alle condizioni per un processo di Poisson. Diciamo quindi che la variabile casuale, che conta il numero di modifiche, ha una distribuzione di Poisson.
La distribuzione di Poisson si riferisce in realtà a una famiglia infinita di distribuzioni. Queste distribuzioni sono dotate di un singolo parametro λ. Il parametro è un numero reale positivo strettamente correlato al numero previsto di modifiche osservate nel continuum. Inoltre, vedremo che questo parametro è uguale non solo alla media della distribuzione ma anche alla varianza della distribuzione.
La funzione di massa di probabilità per una distribuzione di Poisson è data da:
f(X) = (λX e-λ) /X!
In questa espressione, la lettera e è un numero ed è la costante matematica con un valore approssimativamente uguale a 2.718281828. La variabile X può essere qualsiasi numero intero non negativo.
Calcolo della varianza
Per calcolare la media di una distribuzione di Poisson, utilizziamo la funzione di generazione del momento di questa distribuzione. Lo vediamo:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( X) = ΣetX λX e-λ) /X!
Ricordiamo ora la serie Maclaurin per eu. Dal momento che qualsiasi derivato della funzione eu è eu, tutti questi derivati valutati a zero ci danno 1. Il risultato è la serie eu = Σ un/n!.
Utilizzando la serie Maclaurin per eu, possiamo esprimere la funzione generatrice del momento non come una serie, ma in una forma chiusa. Uniamo tutti i termini con l'esponente di X. così M(t) = eλ (et - 1).
Ora troviamo la varianza prendendo la seconda derivata di M e valutandolo a zero. Da M'(t) = λetM(t), utilizziamo la regola del prodotto per calcolare la seconda derivata:
M"(t) = Λ2e2tM'(t) + λetM(t)
Valutiamo questo a zero e lo troviamo M"(0) = λ2 + λ. Quindi usiamo il fatto che M'(0) = λ per calcolare la varianza.
Var (X) = λ2 + λ - (λ)2 = λ.
Ciò dimostra che il parametro λ non è solo la media della distribuzione di Poisson, ma è anche la sua varianza.
