Cinematica bidimensionale o movimento in un piano
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Questo articolo delinea i concetti fondamentali necessari per analizzare il moto degli oggetti in due dimensioni, senza tener conto delle forze che causano l'accelerazione coinvolta. Un esempio di questo tipo di problema potrebbe essere il lancio di una palla o il tiro di una palla di cannone. Assume una familiarità con la cinematica unidimensionale, in quanto espande gli stessi concetti in uno spazio vettoriale bidimensionale.
Scelta delle coordinate
La cinematica implica spostamento, velocità e accelerazione che sono tutte quantità vettoriali che richiedono sia una grandezza che una direzione. Pertanto, per iniziare un problema nella cinematica bidimensionale è necessario innanzitutto definire il sistema di coordinate che si sta utilizzando. Generalmente sarà in termini di un X-asse e a y-asse, orientato in modo tale che il movimento sia nella direzione positiva, sebbene possano esserci alcune circostanze in cui questo non è il metodo migliore.
Nei casi in cui si considera la gravità, è consuetudine rendere negativa la direzione della gravità-y direzione. Questa è una convenzione che generalmente semplifica il problema, anche se sarebbe possibile eseguire i calcoli con un orientamento diverso se lo si desidera.
Vettore di velocità
Il vettore di posizione r è un vettore che va dall'origine del sistema di coordinate a un determinato punto del sistema. Il cambio di posizione (Δr, pronunciato "Delta r") è la differenza tra il punto iniziale (r1) all'endpoint (r2). Definiamo il velocità media (vav) come:
vav = (r2 - r1) / (t2 - t1) = Δr/ Δt
Prendendo il limite come Δt avvicina 0, raggiungiamo il velocità istantanea v. In termini di calcolo, questa è la derivata di r riguardo a t, o dr/dt.
Man mano che la differenza temporale si riduce, i punti iniziale e finale si avvicinano. Dal momento che la direzione di r è la stessa direzione di v, diventa chiaro che il vettore di velocità istantaneo in ogni punto lungo il percorso è tangente al percorso.
Componenti di velocità
La caratteristica utile delle quantità vettoriali è che possono essere suddivise nei vettori dei loro componenti. La derivata di un vettore è la somma dei suoi derivati componenti, quindi:
vX = dx/dt
vy = dy/dt
L'entità del vettore di velocità è data dal Teorema di Pitagora nella forma:
|v| = v = sqrt (vX2 + vy2)
La direzione di v è orientato alfa gradi in senso antiorario rispetto al X-componente e può essere calcolato dalla seguente equazione:
abbronzatura alfa = vy / vX
Vettore di accelerazione
L'accelerazione è il cambiamento di velocità in un determinato periodo di tempo. Simile all'analisi sopra, troviamo che è Δv/ Δt. Il limite di questo come Δt avvicina 0 restituisce la derivata di v riguardo a t.
In termini di componenti, il vettore di accelerazione può essere scritto come:
un'X = dvX/dt
un'y = dvy/dt
o
un'X = d2X/dt2
un'y = d2y/dt2
La grandezza e l'angolo (indicato come beta per distinguere da alfa) del vettore di accelerazione netta sono calcolati con componenti in modo simile a quelli per la velocità.
Lavorare con i componenti
Spesso, la cinematica bidimensionale implica la suddivisione dei vettori rilevanti nella loro X- e y-componenti, quindi analizzando ciascuno dei componenti come se fossero casi unidimensionali. Una volta completata questa analisi, i componenti di velocità e / o accelerazione vengono quindi combinati di nuovo insieme per ottenere i vettori di velocità e / o accelerazione risultanti.
Cinematica tridimensionale
Le equazioni precedenti possono essere espanse per il movimento in tre dimensioni aggiungendo a z-componente per l'analisi. Questo è generalmente abbastanza intuitivo, sebbene sia necessario fare attenzione nel garantire che ciò avvenga nel formato corretto, specialmente per quanto riguarda il calcolo dell'angolo di orientamento del vettore.
A cura di Anne Marie Helmenstine, Ph.D.
