Uso della funzione di generazione del momento per la distribuzione binomiale

La media e la varianza di una variabile casuale X con una distribuzione di probabilità binomiale può essere difficile calcolare direttamente. Anche se può essere chiaro cosa deve essere fatto usando la definizione del valore atteso di X e X², l'esecuzione effettiva di questi passaggi è una complicata giocoleria di algebra e somme. Un modo alternativo per determinare la media e la varianza di una distribuzione binomiale consiste nell'utilizzare la funzione di generazione del momento per X.

Variabile casuale binomiale

Inizia con la variabile casuale X e descrivere la distribuzione di probabilità in modo più specifico. Eseguire n prove indipendenti di Bernoulli, ognuna delle quali ha probabilità di successo p e probabilità di fallimento 1 - p. Quindi la funzione di massa di probabilità è

f (X) = C(n , X)p^X(1 - p)^{n - X}

Ecco il termine C(n , X) indica il numero di combinazioni di n elementi presi X alla volta, e X può assumere i valori 0, 1, 2, 3, ... , n.

Funzione di generazione del momento

Utilizzare questa funzione di massa di probabilità per ottenere la funzione di generazione del momento di X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ e^txC(n,X)>)p^X(1 - p)^{n - X}.

Diventa chiaro che puoi combinare i termini con l'esponente di X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ (pe^t)^XC(n,X)>) (1 - p)^{n - X}.

Inoltre, usando la formula binomiale, l'espressione sopra è semplicemente:

M(t) = [(1 - p) + pe^t]ⁿ.

Calcolo della media

Per trovare la media e la varianza, devi conoscere entrambi M'(0) e M"(0). Inizia calcolando i tuoi derivati, quindi valuta ciascuno di essi a t = 0.

Vedrai che la prima derivata della funzione di generazione del momento è:

M'(t) = n(pe^t) [(1 - p) + pe^t]^{n - 1}.

Da questo, puoi calcolare la media della distribuzione di probabilità. M(0) = n(pe⁰) [(1 - p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Questo corrisponde all'espressione che abbiamo ottenuto direttamente dalla definizione della media.

Calcolo della varianza

Il calcolo della varianza viene eseguito in modo simile. Innanzitutto, differenziamo nuovamente la funzione generatrice del momento, quindi valutiamo questo derivato in t = 0. Qui lo vedrai

M"(t) = n(n - 1) (pe^t)²[(1 - p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t) [(1 - p) + pe^t]^{n - 1}.

Per calcolare la varianza di questa variabile casuale devi trovare M"(t). Ecco qui M"(0) = n(n - 1)p² +np. La varianza σ² della tua distribuzione è

σ² = M"(0) - [M'(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Sebbene questo metodo sia in qualche modo coinvolto, non è così complicato come calcolare la media e la varianza direttamente dalla funzione della massa di probabilità.