Cosa sono le conversioni, le contraddizioni e le inversioni?

Le dichiarazioni condizionali compaiono ovunque. In matematica o altrove, non ci vuole molto a imbattersi in qualcosa del tipo “Se P poi Q."Le dichiarazioni condizionali sono davvero importanti. Ciò che è anche importante sono le dichiarazioni che sono correlate alla dichiarazione condizionale originale cambiando la posizione di P, Q e la negazione di una dichiarazione. A partire da un'istruzione originale, finiamo con tre nuove istruzioni condizionali che sono chiamate il contrario, il contrapposto e l'inverso.

Negazione

Prima di definire il contrario, il contrapposto e l'inverso di una dichiarazione condizionale, dobbiamo esaminare l'argomento della negazione. Ogni affermazione nella logica è vera o falsa. La negazione di un'affermazione implica semplicemente l'inserimento della parola "non" nella parte corretta dell'affermazione. L'aggiunta della parola "non" viene fatta in modo da cambiare lo stato di verità dell'affermazione.

Aiuterà a guardare un esempio. L'affermazione "Il triangolo rettangolo è equilatero" ha una negazione "Il triangolo rettangolo non è equilatero". La negazione di "10 è un numero pari" è l'affermazione "10 non è un numero pari". Naturalmente, per quest'ultimo esempio, potremmo usare la definizione di un numero dispari e invece dire che "10 è un numero dispari". Notiamo che la verità di un'affermazione è l'opposto di quella della negazione.

Esamineremo questa idea in un contesto più astratto. Quando la dichiarazione P è vero, l'affermazione “no P" è falso. Allo stesso modo, se P è falso, la sua negazione “no P" è vero. Le negazioni sono comunemente indicate con una tilde ~. Quindi invece di scrivere “no P"Possiamo scrivere ~P.

Conversa, contrapposta e inversa

Ora possiamo definire il contrario, il contrappositivo e l'inverso di un'istruzione condizionale. Iniziamo con l'affermazione condizionale “If P poi Q.”

• Il contrario dell'istruzione condizionale è "Se Q poi P.”
• Il contrappeso della frase condizionale è “Altrimenti Q quindi no P.”
• L'inverso dell'istruzione condizionale è “In caso contrario P quindi no Q.”

Vedremo come funzionano queste affermazioni con un esempio. Supponiamo di iniziare con l'affermazione condizionale "Se la notte scorsa ha piovuto, allora il marciapiede è bagnato".

• Il contrario della frase condizionale è "Se il marciapiede è bagnato, allora ha piovuto ieri sera."
• L'opposizione dell'affermazione condizionale è "Se il marciapiede non è bagnato, allora non ha piovuto ieri sera".
• L'inverso della frase condizionale è "Se la notte scorsa non ha piovuto, allora il marciapiede non è bagnato".

Equivalenza logica

Potremmo chiederci perché è importante formare queste altre dichiarazioni condizionali dalla nostra iniziale. Uno sguardo attento all'esempio sopra rivela qualcosa. Supponiamo che l'affermazione originale "Se ha piovuto ieri sera, allora il marciapiede è bagnato" è vera. Anche quale delle altre affermazioni deve essere vera?

• Il contrario: "Se il marciapiede è bagnato, allora ha piovuto ieri sera" non è necessariamente vero. Il marciapiede potrebbe essere bagnato per altri motivi.
• L'inverso "Se ieri sera non ha piovuto, allora il marciapiede non è bagnato" non è necessariamente vero. Ancora una volta, solo perché non ha piovuto non significa che il marciapiede non sia bagnato.
• Il contrappeso "Se il marciapiede non è bagnato, allora non ha piovuto ieri sera" è una vera affermazione.

Ciò che vediamo da questo esempio (e ciò che può essere provato matematicamente) è che un'affermazione condizionale ha lo stesso valore di verità del suo contrappeso. Diciamo che queste due affermazioni sono logicamente equivalenti. Vediamo anche che un'istruzione condizionale non è logicamente equivalente al suo contrario e inverso.

Poiché un'affermazione condizionale e il suo contrappeso sono logicamente equivalenti, possiamo usarlo a nostro vantaggio quando dimostriamo teoremi matematici. Piuttosto che provare direttamente la verità di un'affermazione condizionale, possiamo invece usare la strategia di prova indiretta per dimostrare la verità dell'affermazione di tale affermazione. Le prove controverse funzionano perché se il contrapositivo è vero, a causa dell'equivalenza logica, anche la frase condizionale originale è vera.

Si scopre che anche se il contrario e l'inverso non sono logicamente equivalenti all'istruzione condizionale originale, sono logicamente equivalenti tra loro. C'è una semplice spiegazione per questo. Iniziamo con l'affermazione condizionale “If Q poi P”. Il contrario di questa affermazione è “In caso contrario P quindi no Q."Poiché l'inverso è il contrapposto del contrario, il contrario e l'inverso sono logicamente equivalenti.