Che cos'è la probabilità condizionale?

Un semplice esempio di probabilità condizionale è la probabilità che una carta pescata da un mazzo di carte standard sia un re. Esistono un totale di quattro re su 52 carte, quindi la probabilità è semplicemente 4/52. In relazione a questo calcolo c'è la seguente domanda: "Qual è la probabilità che pesciamo un re dato che abbiamo già pescato una carta dal mazzo ed è un asso?" Qui consideriamo il contenuto del mazzo di carte. Ci sono ancora quattro re, ma ora ci sono solo 51 carte nel mazzo. La probabilità di pescare un re dato che un asso è già stato pescato è 4/51.

La probabilità condizionale è definita come la probabilità di un evento dato che si è verificato un altro evento. Se chiamiamo questi eventi UN e B, allora possiamo parlare della probabilità di UN dato B. Potremmo anche riferirci alla probabilità di UN dipendente da B.

Notazione

La notazione per probabilità condizionale varia da libro di testo a libro di testo. In tutte le notazioni, l'indicazione è che la probabilità a cui ci stiamo riferendo dipende da un altro evento. Una delle notazioni più comuni per la probabilità di UN dato B è P (A | B). Un'altra notazione che viene utilizzata è P_B(A).

Formula

Esiste una formula per la probabilità condizionale che collega questo alla probabilità di UN e B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

In sostanza ciò che questa formula sta dicendo è quello di calcolare la probabilità condizionale dell'evento UN dato l'evento B, cambiamo il nostro spazio di campionamento in modo da consistere solo dell'insieme B. Nel fare questo, non consideriamo tutto l'evento UN, ma solo la parte di UN che è anche contenuto in B. L'insieme che abbiamo appena descritto può essere identificato in termini più familiari come l'intersezione di UN e B.

Possiamo usare l'algebra per esprimere la formula sopra in un modo diverso:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Esempio

Rivederemo l'esempio con cui abbiamo iniziato alla luce di queste informazioni. Vogliamo sapere la probabilità di pescare un re dato che un asso è già stato pescato. Quindi l'evento UN è che disegniamo un re. Evento B è che disegniamo un asso.

La probabilità che accadano entrambi gli eventi e noi pesciamo un asso e quindi un re corrisponde a P (A ∩ B). Il valore di questa probabilità è 12/2652. La probabilità dell'evento B, che pesciamo un asso è 4/52. Quindi usiamo la formula della probabilità condizionale e vediamo che la probabilità di pescare un re dato che è stato pescato un asso è (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Un altro esempio

Per un altro esempio, esamineremo l'esperimento di probabilità in cui lanciamo due dadi. Una domanda che potremmo porci è: "Qual è la probabilità che abbiamo tirato un tre, dato che abbiamo tirato una somma di meno di sei?"

Qui l'evento UN è che abbiamo ottenuto un tre e l'evento B è che abbiamo ottenuto una somma inferiore a sei. Ci sono un totale di 36 modi per lanciare due dadi. Di questi 36 modi, possiamo ottenere una somma inferiore a sei in dieci modi:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Eventi indipendenti

Ci sono alcuni casi in cui la probabilità condizionata di UN dato l'evento B è uguale alla probabilità di UN. In questa situazione, diciamo che gli eventi UN e B sono indipendenti l'uno dall'altro. La formula sopra diventa: