Proprietà matematiche delle onde

Onde fisiche, o onde meccaniche, si forma attraverso la vibrazione di un mezzo, che si tratti di una stringa, della crosta terrestre o di particelle di gas e fluidi. Le onde hanno proprietà matematiche che possono essere analizzate per comprendere il moto dell'onda. Questo articolo introduce queste proprietà d'onda generali, piuttosto che come applicarle in situazioni specifiche in fisica.

Onde trasversali e longitudinali

Esistono due tipi di onde meccaniche.

A è tale che gli spostamenti del mezzo sono perpendicolari (trasversali) alla direzione di spostamento dell'onda lungo il mezzo. La vibrazione di una corda in movimento periodico, così le onde si muovono lungo di essa, è un'onda trasversale, così come le onde nell'oceano.

UN onda longitudinale è tale che gli spostamenti del mezzo vanno avanti e indietro nella stessa direzione dell'onda stessa. Le onde sonore, in cui le particelle d'aria vengono spinte lungo nella direzione di marcia, sono un esempio di onda longitudinale.

Anche se le onde discusse in questo articolo si riferiranno al viaggio in un mezzo, la matematica introdotta qui può essere utilizzata per analizzare le proprietà delle onde non meccaniche. Le radiazioni elettromagnetiche, ad esempio, sono in grado di viaggiare attraverso lo spazio vuoto, ma hanno ancora le stesse proprietà matematiche di altre onde. Ad esempio, l'effetto Doppler per le onde sonore è ben noto, ma esiste un effetto Doppler simile per le onde luminose e si basano sugli stessi principi matematici.

Quali sono le cause delle onde?

1. Le onde possono essere viste come un disturbo nel mezzo attorno a uno stato di equilibrio, che è generalmente a riposo. L'energia di questo disturbo è ciò che provoca il moto ondoso. Una pozza d'acqua è in equilibrio quando non ci sono onde, ma non appena viene lanciata una pietra, l'equilibrio delle particelle viene disturbato e il moto ondoso inizia.
2. Il disturbo dell'onda viaggia, o propaga, con una velocità definita, chiamato il velocità dell'onda (v).
3. Le onde trasportano energia, ma non importa. Il mezzo stesso non viaggia; le singole particelle subiscono un movimento avanti e indietro o su e giù attorno alla posizione di equilibrio.

La funzione d'onda

Per descrivere matematicamente il moto ondoso, ci riferiamo al concetto di a Funzione d'onda, che descrive la posizione di una particella nel mezzo in qualsiasi momento. La più elementare delle funzioni d'onda è l'onda sinusoidale, o onda sinusoidale, che è a onda periodica (cioè un'onda con movimento ripetitivo).

È importante notare che la funzione d'onda non descrive l'onda fisica, ma piuttosto un grafico dello spostamento attorno alla posizione di equilibrio. Questo può essere un concetto confuso, ma la cosa utile è che possiamo usare un'onda sinusoidale per rappresentare la maggior parte dei movimenti periodici, come muoversi in un cerchio o oscillare un pendolo, che non sembrano necessariamente ondulati quando si visualizza l'effettivo movimento.

Proprietà della funzione d'onda

• velocità dell'onda (v) - la velocità di propagazione dell'onda
• ampiezza (UN) - l'entità massima dello spostamento dall'equilibrio, in unità SI di metri. In generale, è la distanza dal punto medio di equilibrio dell'onda al suo spostamento massimo, oppure è metà dello spostamento totale dell'onda.
• periodo (T) - è il tempo per un ciclo d'onda (due impulsi, o da cresta a cresta o da trogolo a trogolo), in unità SI di secondi (sebbene possa essere indicato come "secondi per ciclo").
• frequenza (f) - il numero di cicli in un'unità di tempo. L'unità di frequenza SI è l'hertz (Hz) e

  1 Hz = 1 ciclo / i = 1 s^-1

• frequenza angolare (ω) - è 2π volte la frequenza, in unità SI di radianti al secondo.
• lunghezza d'onda (λ) - la distanza tra due punti qualsiasi in posizioni corrispondenti su ripetizioni successive nell'onda, quindi (ad esempio) da una cresta o depressione alla successiva, in unità SI di metri. 
• numero d'onda (K) - chiamato anche il costante di propagazione, questa quantità utile è definita come 2 π diviso per la lunghezza d'onda, quindi le unità SI sono radianti per metro.
• pulse - una mezza lunghezza d'onda, dalla parte posteriore dell'equilibrio

Alcune equazioni utili nella definizione delle quantità di cui sopra sono:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

K = 2π/ω

ω = vk

La posizione verticale di un punto sull'onda, y, può essere trovato in funzione della posizione orizzontale, X, e il tempo, t, quando lo guardiamo. Ringraziamo i gentili matematici per aver svolto questo lavoro per noi e abbiamo ottenuto le seguenti utili equazioni per descrivere il moto ondoso:

y(x, t) = UN peccato ω(t - X/v) = UN peccato 2π f(t - X/v)

y(x, t) = UN peccato 2π(t/T - X/v)

y (x, t) = UN peccato (ω t - kx)

L'equazione d'onda

Un'ultima caratteristica della funzione d'onda è che l'applicazione del calcolo per prendere la seconda derivata produce il valore equazione d'onda, che è un prodotto intrigante e talvolta utile (che, ancora una volta, ringrazieremo i matematici e accetteremo senza provarlo):