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Risoluzione delle funzioni esponenziali Ricerca dell'importo originale

Scienza
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Le funzioni esponenziali raccontano storie di cambiamenti esplosivi. I due tipi di funzioni esponenziali sono crescita esponenziale e decadimento esponenziale. Quattro variabili: variazione percentuale, tempo, importo all'inizio del periodo di tempo e importo alla fine del periodo di tempo svolgono ruoli in funzioni esponenziali. Questo articolo si concentra su come trovare l'importo all'inizio del periodo di tempo, un'.

Crescita esponenziale

Crescita esponenziale: il cambiamento che si verifica quando un importo originale viene aumentato di un tasso costante per un periodo di tempo

Crescita esponenziale nella vita reale:

  • Valori dei prezzi delle case
  • Valori degli investimenti
  • Maggiore appartenenza a un popolare sito di social network

Ecco una funzione di crescita esponenziale:

y = un(1 + b)X

  • y: Importo finale rimanente per un periodo di tempo
  • un': L'importo originale
  • X: Tempo
  • Il fattore di crescita è (1 + B).
  • La variabile, B, è la variazione percentuale in forma decimale.

Decadimento esponenziale

Decadimento esponenziale: la variazione che si verifica quando un importo originale viene ridotto di un tasso costante per un periodo di tempo

Decadimento esponenziale nella vita reale:

  • Declino dei lettori di giornali
  • Declino degli ictus negli Stati Uniti.
  • Numero di persone che rimangono in una città colpita dall'uragano

Ecco una funzione di decadimento esponenziale:

y = un(1-b)X

  • y: Importo finale rimanente dopo il decadimento per un periodo di tempo
  • un': L'importo originale
  • X: Tempo
  • Il fattore di decadimento è (1-B).
  • La variabile, B, è la percentuale di riduzione in forma decimale.

Scopo di trovare l'importo originale

Tra sei anni, forse vuoi seguire una laurea alla Dream University. Con un prezzo di $ 120.000, la Dream University evoca terrori finanziari notturni. Dopo notti insonni, tu, mamma e papà incontriamo un pianificatore finanziario. Gli occhi iniettati di sangue dei tuoi genitori si chiariscono quando il pianificatore rivela un investimento con un tasso di crescita dell'8% che può aiutare la tua famiglia a raggiungere l'obiettivo di $ 120.000. Studia sodo. Se tu e i tuoi genitori investite $ 75.620,36 oggi, Dream University diventerà la vostra realtà.

Come risolvere l'importo originale di una funzione esponenziale

Questa funzione descrive la crescita esponenziale dell'investimento:

120.000 = un'(1 +.08)6

  • 120.000: importo finale rimanente dopo 6 anni
  • .08: tasso di crescita annuale
  • 6: il numero di anni per far crescere l'investimento
  • un': L'importo iniziale investito dalla tua famiglia

Suggerimento: Grazie alla proprietà simmetrica dell'uguaglianza, 120.000 = un'(1 +.08)6 equivale a un'(1 +.08)6 = 120.000. (Proprietà simmetrica dell'uguaglianza: se 10 + 5 = 15, quindi 15 = 10 +5.)

Se preferisci riscrivere l'equazione con la costante, 120.000, a destra dell'equazione, allora fallo.

un'(1 +.08)6 = 120.000

Concesso, l'equazione non sembra un'equazione lineare (6un' = $ 120.000), ma è risolvibile. Insisti!

un'(1 +.08)6 = 120.000

Fai attenzione: non risolvere questa equazione esponenziale dividendo 120.000 per 6. È una tentazione matematica no-no.

1. Utilizzare l'ordine delle operazioni per semplificare.

un'(1 +.08)6 = 120.000

un'(1.08)6 = 120.000 (parentesi)

un'(1.586874323) = 120.000 (Esponente)

2. Risolvi per divisione

un'(1.586874323) = 120.000

un'(1.586874323) / (1.586874323) = 120.000 / (1.586874323)

1un' = 75.620.35523

un' = 75.620.35523

L'importo originale o l'importo che la tua famiglia dovrebbe investire è di circa $ 75.620,36.

3. Congela: non hai ancora finito. Usa l'ordine delle operazioni per controllare la tua risposta.

120.000 = un'(1 +.08)6

120.000 = 75.620.35523 (1 +.08)6

120.000 = 75.620.35523 (1.08)6 (Parentesi)

120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (esponente)

120.000 = 120.000 (moltiplicazione)

Esercizi: risposte e spiegazioni

Ecco alcuni esempi di come risolvere l'importo originale, data la funzione esponenziale:

  1. 84 = un'(1 + 0,31)7
    Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
    84 = un'(1.31)7 (Parentesi)
    84 = un'(6.620626219) (esponente)
    Dividi per risolvere.
    84 / 6.620626219 = un'(6,620626219) /6.620626219
    12.68762157 = 1un'
    12.68762157 = un'
    Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
    84 = 12.68762157 (1.31)7 (Parentesi)
    84 = 12.68762157 (6.620626219) (esponente)
    84 = 84 (moltiplicazione)
  2. un'(1 -.65)3 = 56
    Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
    un'(0,35)3 = 56 (parentesi)
    un'(.042875) = 56 (Esponente)
    Dividi per risolvere.
    un'(.042875) /. 042875 = 56 / .042875
    un' = 1.306.122449
    Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
    un'(1 -.65)3 = 56
    1,306.122449 (.35)3 = 56 (parentesi)
    1.306.122449 (.042875) = 56 (Esponente)
    56 = 56 (Moltiplica)
  3. un'(1 + .10)5 = 100.000
    Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
    un'(1.10)5 = 100.000 (parentesi)
    un'(1.61051) = 100.000 (esponente)
    Dividi per risolvere.
    un'(1.61051) /1.61051 = 100.000 / 1.61051
    un' = 62.092.13231
    Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
    62.092.13231 (1 + .10)5 = 100.000
    62,092.13231 (1.10)5 = 100.000 (parentesi)
    62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (esponente)
    100.000 = 100.000 (moltiplicare)
  4. 8.200 = un'(1.20)15
    Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
    8.200 = un'(1.20)15 (Esponente)
    8.200 = un'(15.40702157)
    Dividi per risolvere.
    8.200 / 15.40702157 = un'(15.40702157) /15.40702157
    532.2248665 = 1un'
    532.2248665 = un'
    Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
    8.200 = 532.2248665 (1.20)15
    8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (esponente)
    8.200 = 8200 (Bene, 8.199.9999 ... Solo un po 'di errore di arrotondamento.) (Moltiplicare.)
  5. un'(1-3,3)2 = 1.000
    Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
    un'(0,67)2 = 1.000 (parentesi)
    un'(.4489) = 1,000 (esponente)
    Dividi per risolvere.
    un'(.4489) /. 4489 = 1.000 / .4489
    1un' = 2.227.667632
    un' = 2.227.667632
    Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
    2.227.667632 (1 -.33)2 = 1.000
    2,227.667632 (.67)2 = 1.000 (parentesi)
    2.227.667632 (.4489) = 1.000 (esponente)
    1.000 = 1.000 (Moltiplica)
  6. un'(.25)4 = 750
    Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
    un'(.00390625) = 750 (Esponente)
    Dividi per risolvere.
    un'(.00390625) / 00390625 = 750 / .00390625
    1a = 192.000
    a = 192.000
    Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
    192.000 (0,25)4 = 750
    192.000 (.00390625) = 750
    750 = 750
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