Utilizzo della probabilità condizionale per calcolare la probabilità di intersezione

La probabilità condizionale di un evento è la probabilità che un evento UN si verifica dato che un altro evento B è già avvenuto. Questo tipo di probabilità viene calcolato limitando lo spazio campione con cui stiamo lavorando solo all'insieme B.

La formula per la probabilità condizionale può essere riscritta usando qualche algebra di base. Invece della formula:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),

moltiplichiamo entrambe le parti per P (B) e ottenere la formula equivalente:

P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).

Possiamo quindi usare questa formula per trovare la probabilità che si verifichino due eventi usando la probabilità condizionale.

Uso della formula

Questa versione della formula è molto utile quando conosciamo la probabilità condizionale di UN dato B così come la probabilità dell'evento B. In questo caso, possiamo calcolare la probabilità dell'intersezione di UN dato B moltiplicando semplicemente altre due probabilità. La probabilità dell'intersezione di due eventi è un numero importante perché è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi.

Esempi

Per il nostro primo esempio, supponiamo di conoscere i seguenti valori per probabilità: P (A | B) = 0.8 e P (B) = 0,5. La probabilità P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.

Mentre l'esempio sopra mostra come funziona la formula, potrebbe non essere il più illuminante su quanto sia utile la formula sopra. Quindi prenderemo in considerazione un altro esempio. C'è una scuola superiore con 400 studenti, di cui 120 maschi e 280 femmine. Dei maschi, il 60% è attualmente iscritto a un corso di matematica. Delle femmine, l'80% è attualmente iscritto a un corso di matematica. Qual è la probabilità che una studentessa selezionata casualmente sia una femmina iscritta a un corso di matematica?

Qui lasciamo F denota l'evento "La studentessa selezionata è una femmina" e M l'evento "Studente selezionato è iscritto a un corso di matematica". Dobbiamo determinare la probabilità dell'intersezione di questi due eventi, oppure P (M ∩ F).

La formula sopra ci mostra questo P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). La probabilità che sia selezionata una femmina è P (F) = 280/400 = 70%. La probabilità condizionale che lo studente selezionato sia iscritto a un corso di matematica, dato che è stata selezionata una femmina P (M | F) = 80% Moltiplichiamo queste probabilità insieme e vediamo che abbiamo una probabilità dell'80% x 70% = 56% di selezionare una studentessa iscritta a un corso di matematica.

Test per l'indipendenza

La formula precedente relativa alla probabilità condizionale e alla probabilità di intersezione ci dà un modo semplice per capire se abbiamo a che fare con due eventi indipendenti. Dagli eventi UN e B sono indipendenti se P (A | B) = P (A), dalla formula precedente segue che gli eventi UN e B sono indipendenti se e solo se:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Quindi se lo sappiamo PAPÀ ) = 0,5, P (B) = 0.6 e P (A ∩ B) = 0,2, senza sapere nient'altro possiamo determinare che questi eventi non sono indipendenti. Lo sappiamo perché P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Questa non è la probabilità dell'intersezione di UN e B.