Quali sono i momenti nelle statistiche?
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I momenti nelle statistiche matematiche comportano un calcolo di base. Questi calcoli possono essere utilizzati per trovare la media, la varianza e l'asimmetria di una distribuzione di probabilità.
Supponiamo di avere un set di dati per un totale di n punti discreti. Un calcolo importante, che in realtà è composto da più numeri, è chiamato Sth momento. Il Sth momento del set di dati con valori X1, X2, X3,... , Xn è dato dalla formula:
(X1S + X2S + X3S +... + XnS) /n
L'uso di questa formula richiede di stare attenti al nostro ordine delle operazioni. Dobbiamo prima fare gli esponenti, aggiungere, quindi dividere questa somma per n il numero totale di valori di dati.
Una nota sul termine "momento"
Il termine momento è stato preso dalla fisica. In fisica, il momento di un sistema di masse di punti viene calcolato con una formula identica a quella sopra, e questa formula viene utilizzata per trovare il centro di massa dei punti. In statistica, i valori non sono più masse, ma come vedremo, i momenti in statistica misurano ancora qualcosa rispetto al centro dei valori.
Primo momento
Per il primo momento, abbiamo impostato S = 1. La formula per il primo momento è quindi:
(X1X2 + X3 +... + Xn) /n
Questo è identico alla formula per la media del campione.
Il primo momento dei valori 1, 3, 6, 10 è (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Secondo momento
Per il secondo momento abbiamo impostato S = 2. La formula per il secondo momento è:
(X12 + X22 + X32 +... + Xn2) /n
Il secondo momento dei valori 1, 3, 6, 10 è (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36.5.
Terzo momento
Per il terzo momento abbiamo impostato S = 3. La formula per il terzo momento è:
(X13 + X23 + X33 +... + Xn3) /n
Il terzo momento dei valori 1, 3, 6, 10 è (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.
I momenti più alti possono essere calcolati in modo simile. Sostituisci e basta S nella formula sopra con il numero che indica il momento desiderato.
Momenti circa la media
Un'idea correlata è quella del Sth momento sulla media. In questo calcolo eseguiamo i seguenti passaggi:
- Innanzitutto, calcola la media dei valori.
- Quindi, sottrarre questa media da ciascun valore.
- Quindi aumentare ognuna di queste differenze al Sth power.
- Ora aggiungi i numeri dal passaggio 3 insieme.
- Infine, dividi questa somma per il numero di valori con cui abbiamo iniziato.
La formula per il Sth momento sulla media m dei valori valori X1, X2, X3,... , Xn è dato da:
mS = ((X1 - m)S + (X2 - m)S + (X3 - m)S +... + (Xn - m)S) /n
Primo momento sulla media
Il primo momento sulla media è sempre uguale a zero, indipendentemente dal set di dati con cui stiamo lavorando. Questo può essere visto nel seguente:
m1 = ((X1 - m) + (X2 - m) + (X3 - m) + ... + (Xn - m)) /n = ((X1+ X2 + X3 +... + Xn) - nm) /n = m - m = 0.
Secondo momento sulla media
Il secondo momento sulla media si ottiene dalla formula precedente impostandoS = 2:
m2 = ((X1 - m)2 + (X2 - m)2 + (X3 - m)2 +... + (Xn - m)2) /n
Questa formula è equivalente a quella per la varianza del campione.
Ad esempio, considera l'insieme 1, 3, 6, 10. Abbiamo già calcolato che la media di questo insieme è 5. Sottrai questo da ciascuno dei valori dei dati per ottenere differenze di:
- 1 - 5 = -4
- 3 - 5 = -2
- 6 - 5 = 1
- 10 - 5 = 5
Quadriamo ciascuno di questi valori e li sommiamo: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Infine dividi questo numero per il numero di punti dati: 46/4 = 11.5
Applicazioni dei momenti
Come accennato in precedenza, il primo momento è la media e il secondo momento circa la media è la varianza del campione. Karl Pearson ha introdotto l'uso del terzo momento sulla media nel calcolo dell'asimmetria e il quarto momento sulla media nel calcolo della curtosi.
