Cos'è il Power Set?

Una domanda nella teoria degli insiemi è se un insieme è un sottoinsieme di un altro insieme. Un sottoinsieme di UN è un set che si forma usando alcuni degli elementi del set UN. Al fine di B essere un sottoinsieme di UN, ogni elemento di B deve anche essere un elemento di UN.

Ogni set ha diversi sottoinsiemi. A volte è desiderabile conoscere tutti i sottoinsiemi possibili. Una costruzione nota come power set aiuta in questo sforzo. Il set di potenza del set UN è un set con elementi che sono anche set. Questo set di potenze si è formato includendo tutti i sottoinsiemi di un determinato set UN.

Esempio 1

Prenderemo in considerazione due esempi di gruppi elettrogeni. Per il primo, se iniziamo con il set UN = 1, 2, 3, quindi qual è la potenza impostata? Continuiamo elencando tutti i sottoinsiemi di UN.

• Il set vuoto è un sottoinsieme di UN. In effetti il ​​set vuoto è un sottoinsieme di ogni set. Questo è l'unico sottoinsieme senza elementi di UN.
• I set 1, 2, 3 sono gli unici sottoinsiemi di UN con un elemento.
• I set 1, 2, 1, 3, 2, 3 sono gli unici sottoinsiemi di UN con due elementi.
• Ogni set è un sottoinsieme di se stesso. così UN = 1, 2, 3 è un sottoinsieme di UN. Questo è l'unico sottoinsieme con tre elementi.

UN UN UN

Esempio 2

Per il secondo esempio, considereremo il gruppo di potenza di B = 1, 2, 3, 4. Gran parte di ciò che abbiamo detto sopra è simile, se non identico ora:

• Il set vuoto e B sono entrambi sottoinsiemi.
• Dal momento che ci sono quattro elementi di B, ci sono quattro sottoinsiemi con un elemento: 1, 2, 3, 4.
• Poiché ogni sottoinsieme di tre elementi può essere formato eliminando un elemento da B e ci sono quattro elementi, ci sono quattro di questi sottoinsiemi: 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4.
• Resta da determinare i sottoinsiemi con due elementi. Stiamo formando un sottoinsieme di due elementi scelti da un set di 4. Questa è una combinazione e ci sono C (4, 2) = 6 di queste combinazioni. I sottoinsiemi sono: 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4.

B B

Notazione

Ci sono due modi in cui il set di potenza di un set UN è indicato. Un modo per indicarlo è usare il simbolo P( UN), dove a volte questa lettera P è scritto con una sceneggiatura stilizzata. Un'altra notazione per il set di potenza di UN è 2^UN. Questa notazione viene utilizzata per collegare il set di potenza al numero di elementi nel set di potenza.

Dimensioni del set di alimentazione

Esamineremo ulteriormente questa notazione. Se UN è un set finito con n elementi, quindi il suo potere impostato PAPÀ ) avrà 2ⁿ elementi. Se stiamo lavorando con un set infinito, non è utile pensare a 2ⁿ elementi. Tuttavia, un teorema di Cantor ci dice che la cardinalità di un set e il suo set di potenze non possono essere gli stessi.

In matematica era una domanda aperta se la cardinalità dell'insieme di potenze di un insieme numerabile infinito corrispondesse alla cardinalità dei reali. La risoluzione di questa domanda è abbastanza tecnica, ma dice che potremmo scegliere di fare questa identificazione delle cardinalità o meno. Entrambi conducono a una teoria matematica coerente.

Power Set in Probabilità

L'argomento della probabilità si basa sulla teoria degli insiemi. Invece di fare riferimento a insiemi e sottoinsiemi universali, parliamo invece di spazi ed eventi di esempio. A volte, quando si lavora con uno spazio campione, desideriamo determinare gli eventi di quello spazio campione. Il set di potenza dello spazio campione che abbiamo ci darà tutti i possibili eventi.