Calcolo della probabilità di scegliere casualmente un numero primo

La teoria dei numeri è una branca della matematica che si occupa dell'insieme di numeri interi. Ci limitiamo in qualche modo a farlo in quanto non studiamo direttamente altri numeri, come le irrazionali. Tuttavia, vengono utilizzati altri tipi di numeri reali. Inoltre, il tema della probabilità ha molte connessioni e intersezioni con la teoria dei numeri. Una di queste connessioni ha a che fare con la distribuzione di numeri primi. Più specificamente, possiamo chiederci, qual è la probabilità che un numero intero scelto casualmente da 1 a X è un numero primo?

Presupposti e definizioni

Come per qualsiasi problema matematico, è importante capire non solo quali ipotesi vengono fatte, ma anche le definizioni di tutti i termini chiave del problema. Per questo problema stiamo prendendo in considerazione gli interi positivi, ovvero i numeri interi 1, 2, 3, ... fino a un certo numero X. Stiamo scegliendo casualmente uno di questi numeri, il che significa che tutto X di loro è altrettanto probabile che vengano scelti.

Stiamo cercando di determinare la probabilità che venga scelto un numero primo. Pertanto, dobbiamo comprendere la definizione di un numero primo. Un numero primo è un numero intero positivo che ha esattamente due fattori. Ciò significa che gli unici divisori dei numeri primi sono uno e il numero stesso. Quindi 2,3 e 5 sono numeri primi, ma 4, 8 e 12 non sono primi. Notiamo che poiché ci devono essere due fattori in un numero primo, il numero 1 è non primo.

Soluzione per numeri bassi

La soluzione a questo problema è semplice per i numeri bassi X. Tutto quello che dobbiamo fare è semplicemente contare il numero di numeri primi che sono inferiori o uguali X. Dividiamo il numero di numeri primi minore o uguale a X dal numero X.

Ad esempio, per trovare la probabilità che un numero primo sia selezionato da 1 a 10 ci impone di dividere il numero di numeri primi da 1 a 10 per 10. I numeri 2, 3, 5, 7 sono primi, quindi la probabilità che un numero primo sia selezionato è 4/10 = 40%.

La probabilità che un numero primo sia selezionato da 1 a 50 può essere trovata in modo simile. I numeri primi che sono inferiori a 50 sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. Ci sono 15 numeri primi uguali o uguali a 50. Quindi la probabilità che un numero primo sia selezionato a caso è 15/50 = 30%.

Questo processo può essere eseguito semplicemente contando i numeri primi fino a quando abbiamo un elenco di numeri primi. Ad esempio, ci sono 25 numeri primi inferiori o uguali a 100. (Pertanto la probabilità che un numero scelto casualmente da 1 a 100 sia primo è 25/100 = 25%.) Tuttavia, se non abbiamo un elenco di numeri primi, potrebbe essere complicato dal punto di vista computazionale determinare l'insieme dei numeri primi che sono inferiori o uguali a un determinato numero X.

Il teorema dei numeri primi

Se non si dispone di un conteggio del numero di numeri primi che sono inferiori o uguali a X, allora c'è un modo alternativo per risolvere questo problema. La soluzione comporta un risultato matematico noto come teorema dei numeri primi. Questa è un'affermazione sulla distribuzione complessiva dei numeri primi e può essere utilizzata per approssimare la probabilità che stiamo cercando di determinare.

Il teorema dei numeri primi afferma che ci sono circa X / ln (X) numeri primi che sono inferiori o uguali a X. Here ln (X) indica il logaritmo naturale di X, o in altre parole il logaritmo con una base del numero e. Come il valore di X aumenta l'approssimazione migliora, nel senso che vediamo una diminuzione dell'errore relativo tra il numero di numeri primi inferiore a X e l'espressione X / ln (X).

Applicazione del teorema dei numeri primi

Possiamo usare il risultato del teorema dei numeri primi per risolvere il problema che stiamo cercando di risolvere. Sappiamo dal teorema dei numeri primi che ci sono circa X / ln (X) numeri primi che sono inferiori o uguali a X. Inoltre, ci sono un totale di X numeri interi positivi inferiori o uguali a X. Pertanto la probabilità che un numero selezionato casualmente in questo intervallo sia primo è (X / ln (X)) /X = 1 / ln (X).

Esempio

Ora possiamo usare questo risultato per approssimare la probabilità di selezionare casualmente un numero primo tra i primi miliardi di numeri interi. Calcoliamo il logaritmo naturale di un miliardo e vediamo che ln (1.000.000.000) è di circa 20,7 e 1 / ln (1.000.000.000) è di circa 0,0483. Quindi abbiamo circa il 4,83% di probabilità di scegliere in modo casuale un numero primo tra i primi miliardi di numeri interi.