Test di bontà di adattamento Chi-Square

La bontà chi-quadro del test di adattamento è una variazione del più generale test chi-quadro. L'impostazione per questo test è una singola variabile categoriale che può avere molti livelli. Spesso in questa situazione avremo in mente un modello teorico per una variabile categoriale. Attraverso questo modello prevediamo che determinate proporzioni della popolazione rientrino in ciascuno di questi livelli. Un test di bontà di adattamento determina in che misura le proporzioni previste nel nostro modello teorico corrispondono alla realtà.

Ipotesi nulla e alternativa

Le ipotesi nulle e alternative per una bontà del test di adattamento sembrano diverse rispetto ad alcuni dei nostri altri test di ipotesi. Uno dei motivi di ciò è che un test chi-quadrato di adattamento è un metodo non parametrico. Ciò significa che il nostro test non riguarda un singolo parametro di popolazione. Pertanto l'ipotesi nulla non afferma che un singolo parametro assume un certo valore.

Iniziamo con una variabile categoriale con n livelli e let p_io essere la proporzione della popolazione a livello io. Il nostro modello teorico ha valori di q_io per ciascuna delle proporzioni. La dichiarazione delle ipotesi null e alternative sono le seguenti:

• H₀: p₁ = q₁, p₂ = q₂,... p_n = q_n
• H_un': Per almeno uno io, p_io non è uguale a q_io.

Conti effettivi e previsti

Il calcolo di una statistica chi-quadro comporta un confronto tra i conteggi effettivi delle variabili dai dati nel nostro semplice campione casuale e i conteggi attesi di queste variabili. I conteggi effettivi provengono direttamente dal nostro campione. Il modo in cui vengono calcolati i conteggi attesi dipende dal particolare test chi-quadrato che stiamo utilizzando.

Per un test di bontà di adattamento, abbiamo un modello teorico su come i nostri dati dovrebbero essere proporzionati. Moltiplichiamo semplicemente queste proporzioni per la dimensione del campione n per ottenere i nostri conteggi previsti.

Statistica del test di calcolo

La statistica chi-quadro per il test di bontà di adattamento viene determinata confrontando i conteggi effettivi e previsti per ciascun livello della nostra variabile categoriale. I passaggi per calcolare la statistica chi-quadro per un test di idoneità sono i seguenti:

1. Per ogni livello, sottrarre il conteggio osservato dal conteggio previsto.
2. Piazza ognuna di queste differenze.
3. Dividi ciascuna di queste differenze al quadrato per il valore atteso corrispondente.
4. Aggiungi tutti i numeri del passaggio precedente insieme. Questa è la nostra statistica chi-quadro.

Se il nostro modello teorico corrisponde perfettamente ai dati osservati, i conteggi previsti non mostreranno alcuna deviazione dai conteggi osservati della nostra variabile. Ciò significa che avremo una statistica chi-quadro pari a zero. In qualsiasi altra situazione, la statistica chi-quadro sarà un numero positivo.

Gradi di libertà

Il numero di gradi di libertà non richiede calcoli difficili. Tutto quello che dobbiamo fare è sottrarre uno dal numero di livelli della nostra variabile categoriale. Questo numero ci informerà su quali infinite distribuzioni chi-quadrato dovremmo usare.

Tavolo Chi-quadrato e Valore P

La statistica chi-quadrato che abbiamo calcolato corrisponde a una posizione particolare su una distribuzione chi-quadrato con il numero appropriato di gradi di libertà. Il valore p determina la probabilità di ottenere una statistica test così estrema, assumendo che l'ipotesi nulla sia vera. Possiamo usare una tabella di valori per una distribuzione chi-quadro per determinare il valore p del nostro test di ipotesi. Se disponiamo di software statistico disponibile, questo può essere utilizzato per ottenere una stima migliore del valore p.

Regola Decisionale

Decidiamo se rifiutare l'ipotesi nulla in base a un livello di significatività predeterminato. Se il nostro valore p è inferiore o uguale a questo livello di significatività, allora rifiutiamo l'ipotesi nulla. Altrimenti, non riusciamo a respingere l'ipotesi nulla.