Definizione e uso delle variabili strumentali in econometria

Nel campo della statistica e dell'econometria, il termine variabili strumentali può fare riferimento a una delle due definizioni. Le variabili strumentali possono riferirsi a:

1. Una tecnica di stima (spesso abbreviata come IV)
2. Le variabili esogene utilizzate nella tecnica di stima IV

Come metodo di stima, le variabili strumentali (IV) sono utilizzate in molte applicazioni economiche spesso quando un esperimento controllato per testare l'esistenza di una relazione causale non è fattibile e si sospetta una certa correlazione tra le variabili esplicative originali e il termine di errore. Quando le variabili esplicative si correlano o mostrano una forma di dipendenza con i termini di errore in una relazione di regressione, le variabili strumentali possono fornire una stima coerente.

La teoria delle variabili strumentali fu introdotta per la prima volta da Philip G. Wright nella sua pubblicazione del 1928 intitolata La tariffa sugli oli animali e vegetali ma da allora si è evoluto nelle sue applicazioni in economia.

Quando vengono utilizzate variabili strumentali

Esistono diverse circostanze in cui le variabili esplicative mostrano una correlazione con i termini di errore e può essere utilizzata una variabile strumentale. Innanzitutto, le variabili dipendenti possono effettivamente causare una delle variabili esplicative (note anche come covariate). Oppure, le variabili esplicative rilevanti sono semplicemente omesse o trascurate nel modello. Può anche darsi che le variabili esplicative abbiano subito un errore di misurazione. Il problema con una qualsiasi di queste situazioni è che la regressione lineare tradizionale che potrebbe normalmente essere impiegata nell'analisi può produrre stime incoerenti o distorte, che è dove le variabili strumentali (IV) sarebbero quindi utilizzate e la seconda definizione di variabili strumentali diventa più importante.

Oltre ad essere il nome del metodo, le variabili strumentali sono anche le stesse variabili utilizzate per ottenere stime coerenti utilizzando questo metodo. Sono esogeni, nel senso che esistono al di fuori dell'equazione esplicativa, ma come variabili strumentali, sono correlati con le variabili endogene dell'equazione. Al di là di questa definizione, esiste un altro requisito primario per l'utilizzo di una variabile strumentale in un modello lineare: la variabile strumentale non deve essere correlata al termine di errore dell'equazione esplicativa. Vale a dire che la variabile strumentale non può porre lo stesso problema della variabile originale per cui sta tentando di risolvere.

Variabili strumentali in termini di econometria

Per una comprensione più approfondita delle variabili strumentali, rivediamo un esempio. Supponiamo che uno abbia un modello:

y = Xb + e

Qui y è un vettore T x 1 di variabili dipendenti, X è una matrice T x k di variabili indipendenti, b è un vettore k x 1 di parametri da stimare ed e è un vettore k x 1 di errori. OLS può essere immaginato, ma supponiamo nell'ambiente che viene modellato che la matrice di variabili indipendenti X possa essere correlata alle e. Quindi, usando una matrice T x k di variabili indipendenti Z, correlata alle X ma non correlata a quella di e, è possibile costruire uno stimatore IV che sarà coerente:

B_IV = (Z'X)^-1Z'y

Lo stimatore dei minimi quadrati a due stadi è un'importante estensione di questa idea.

In quella discussione sopra, le variabili esogene Z sono chiamate variabili strumentali e strumenti (Z'Z)^-1(Z'X) sono stime della parte di X che non è correlata alle e.