Esempi di insiemi infiniti non numerabili

Non tutti gli insiemi infiniti sono uguali. Un modo per distinguere tra questi insiemi è chiedere se l'insieme è numerabile infinito o meno. In questo modo, diciamo che infiniti insiemi sono numerabili o non numerabili. Prenderemo in considerazione diversi esempi di insiemi infiniti e determineremo quali di questi non sono numerabili.

Infinitamente numerabile

Iniziamo escludendo diversi esempi di insiemi infiniti. Molti degli insiemi infiniti a cui penseremmo immediatamente vengono trovati infinitamente numerabili. Ciò significa che possono essere inseriti in una corrispondenza uno a uno con i numeri naturali.

I numeri naturali, i numeri interi e i numeri razionali sono tutti infinitamente numerabili. È possibile contare anche qualsiasi unione o intersezione di insiemi numerabili infiniti. Il prodotto cartesiano di qualsiasi numero di set numerabili è numerabile. Qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerabile è anche numerabile.

uncountable

Il modo più comune in cui vengono introdotti insiemi non numerabili è quello di considerare l'intervallo (0, 1) dei numeri reali. Da questo fatto, e la funzione one-to-one f( X ) = bx + un'. è un corollario semplice mostrare che qualsiasi intervallo (un', B) di numeri reali è innumerevolmente infinito.

Anche l'intera serie di numeri reali non è numerabile. Un modo per dimostrarlo è utilizzare la funzione tangente uno a uno f ( X ) = abbronzatura X. Il dominio di questa funzione è l'intervallo (-π / 2, π / 2), un insieme non numerabile e l'intervallo è l'insieme di tutti i numeri reali.

Altri insiemi non numerabili

Le operazioni della teoria degli insiemi di base possono essere utilizzate per produrre più esempi di insiemi infiniti infiniti:

• Se UN è un sottoinsieme di B e UN è numerabile, quindi lo è anche B. Ciò fornisce una prova più semplice che l'intera serie di numeri reali non è numerabile.
• Se UN è numerabile e B è un insieme qualsiasi, quindi l'unione UN U B è anche numerabile.
• Se UN è numerabile e B è un set qualsiasi, quindi il prodotto cartesiano UN X B è anche numerabile.
• Se UN è infinito (anche infinitamente numerabile) quindi il gruppo di potenza di UN è numerabile.

Altri due esempi, collegati tra loro, sono in qualche modo sorprendenti. Non ogni sottoinsieme dei numeri reali è infinitamente numerabile (in effetti, i numeri razionali formano un sottoinsieme numerabile dei reali che è anche denso). Alcuni sottoinsiemi sono infinitamente innumerevoli.

Uno di questi sottoinsiemi infiniti infiniti comporta alcuni tipi di espansioni decimali. Se scegliamo due numeri e formiamo ogni possibile espansione decimale con solo queste due cifre, allora l'insieme infinito risultante è numerabile.

Un altro set è più complicato da costruire ed è anche non numerabile. Inizia con l'intervallo chiuso [0,1]. Rimuovere il terzo medio di questo set, risultando in [0, 1/3] U [2/3, 1]. Ora rimuovi il terzo medio di ciascuno dei pezzi rimanenti del set. Quindi (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) vengono rimossi. Continuiamo in questo modo. L'insieme di punti che rimangono dopo che tutti questi intervalli sono stati rimossi non è un intervallo, tuttavia è innumerevolmente infinito. Questo set si chiama Cantor Set.

Esistono infiniti insiemi non numerabili, ma gli esempi sopra riportati sono alcuni degli insiemi più comuni.