Come trovare i punti di flesso di una distribuzione normale

Una cosa fantastica della matematica è il modo in cui aree apparentemente non correlate della materia si incontrano in modi sorprendenti. Un'istanza di questo è l'applicazione di un'idea dal calcolo alla curva della campana. Uno strumento di calcolo noto come derivato viene utilizzato per rispondere alla seguente domanda. Dove sono i punti di flesso sul grafico della funzione di densità di probabilità per la distribuzione normale?

Punti di inflessione

Le curve hanno una varietà di funzioni che possono essere classificate e classificate. Un elemento relativo alle curve che possiamo considerare è se il grafico di una funzione sta aumentando o diminuendo. Un'altra caratteristica riguarda qualcosa noto come concavità. Questo può essere approssimativamente considerato come la direzione verso cui una parte della curva è rivolta. Più concavità formale è la direzione della curvatura.

Si dice che una parte di una curva è concava verso l'alto se è sagomata come la lettera U. Una parte di una curva è concava verso il basso se è sagomata come la seguente ∩. È facile ricordare come appare se pensiamo a una grotta che si apre verso l'alto per il concavo verso l'alto o verso il basso per il concavo verso il basso. Un punto di flesso è dove una curva cambia concavità. In altre parole, è un punto in cui una curva va da concava in su a concava in basso, o viceversa.

Second Derivatives

Nel calcolo la derivata è uno strumento che viene utilizzato in vari modi. Mentre l'uso più noto della derivata è determinare l'inclinazione di una linea tangente ad una curva in un determinato punto, esistono altre applicazioni. Una di queste applicazioni ha a che fare con la ricerca di punti di flesso del grafico di una funzione.

Se il grafico di y = f (x) ha un punto di flesso a x = a, quindi la seconda derivata di f valutato a un' è zero. Scriviamo questo in notazione matematica come fa ) = 0. Se la seconda derivata di una funzione è zero in un punto, ciò non implica automaticamente che abbiamo trovato un punto di flesso. Tuttavia, possiamo cercare potenziali punti di flesso vedendo dove la seconda derivata è zero. Useremo questo metodo per determinare la posizione dei punti di flesso della distribuzione normale.

Punti di flesso della curva a campana

Una variabile casuale normalmente distribuita con media μ e deviazione standard di σ ha una funzione di densità di probabilità di

f (x) = 1 / (σ √ (2 π)) exp [- (x - μ)²/ (2σ²)].

Qui usiamo la notazione exp [y] = e^y, dove e è la costante matematica approssimata da 2.71828.

La prima derivata di questa funzione di densità di probabilità si trova conoscendo la derivata per e^X e applicando la regola della catena.

f '(x) = - (x - μ) / (σ³ √ (2 π)) exp [- (x -μ) ²/ (2σ²)] = - (x - μ) f (x) / σ².

Calcoliamo ora la seconda derivata di questa funzione di densità di probabilità. Usiamo la regola del prodotto per vedere che:

f "(x) = - f (x) / σ² - (x - μ) f '(x) / σ²

Semplificando questa espressione che abbiamo

f "(x) = - f (x) / σ² + (x - μ)² f (x) / (σ⁴)

Ora imposta questa espressione uguale a zero e risolvi X. Da f (x) è una funzione diversa da zero che possiamo dividere entrambi i lati dell'equazione con questa funzione.