Funzioni Quasiconcave Utility

"Quasiconcave" è un concetto matematico che ha diverse applicazioni in economia. Per comprendere il significato delle applicazioni del termine in economia, è utile iniziare con una breve considerazione delle origini e del significato del termine in matematica.

Origini del termine

Il termine "quasiconcave" è stato introdotto nella prima parte del 20 ° secolo nell'opera di John von Neumann, Werner Fenchel e Bruno de Finetti, tutti importanti matematici con interessi sia in matematica teorica che applicata, Le loro ricerche in campi come la teoria della probabilità , la teoria e la topologia dei giochi alla fine gettarono le basi per un campo di ricerca indipendente noto come "convessità generalizzata". Mentre il termine "quasiconcave: ha applicazioni in molte aree, compresa l'economia, ha origine nel campo della convessità generalizzata come concetto topologico.

Definizione di topologia

La breve e leggibile spiegazione della topologia del professor Robert Bruner della matematica di Wayne inizia con la comprensione che la topologia è una forma speciale di geometria. Ciò che distingue la topologia da altri studi geometrici è che la topologia tratta le figure geometriche come essenzialmente ("topologicamente") equivalenti se piegandole, torcendole e deformandole in altro modo, si può trasformare l'una nell'altra.

Sembra un po 'strano, ma considera che se fai un cerchio e inizi a schiacciare da quattro direzioni, con un'attenta compressione puoi produrre un quadrato. Pertanto, un quadrato e un cerchio sono topologicamente equivalenti. Allo stesso modo, se pieghi un lato di un triangolo fino a quando non hai creato un altro angolo lungo quel lato, con più flessione, spinta e trazione, puoi trasformare un triangolo in un quadrato. Ancora una volta, un triangolo e un quadrato sono topologicamente equivalenti. 

Quasiconcave come proprietà topologica

Quasiconcave è una proprietà topologica che include la concavità. Se rappresenti una funzione matematica e il grafico assomiglia più o meno a una scodella mal fabbricata con alcuni dossi ma ha ancora una depressione al centro e due estremità che si inclinano verso l'alto, questa è una funzione quasiconcave.

Si scopre che una funzione concava è solo un'istanza specifica di una funzione quasiconcave, senza i dossi. Dal punto di vista di un laico (un matematico ha un modo più rigoroso di esprimerlo), una funzione quasiconcave include tutte le funzioni concave e anche tutte le funzioni che sono nel complesso concava ma che possono avere sezioni effettivamente convesse. Ancora una volta, immagina una ciotola mal fatta con alcuni dossi e sporgenze. 

Applicazioni in economia

Un modo di rappresentare matematicamente le preferenze dei consumatori (così come molti altri comportamenti) è con una funzione di utilità. Se, ad esempio, i consumatori preferiscono il bene A al buono B, la funzione di utilità U esprime tale preferenza come:

                                 U (A)> U (B)

Se rappresenti questa funzione per un insieme di consumatori e beni nel mondo reale, potresti scoprire che il grafico assomiglia un po 'a una ciotola, piuttosto che a una linea retta, al centro c'è una curva. Questo abbassamento generalmente rappresenta l'avversione dei consumatori al rischio. Ancora una volta, nel mondo reale, questa avversione non è coerente: il grafico delle preferenze dei consumatori assomiglia un po 'a una ciotola imperfetta, con una serie di dossi. Invece di essere concavo, quindi, è generalmente concavo ma non perfettamente così in ogni punto del grafico, che può avere sezioni minori di convessità.

In altre parole, il nostro grafico di esempio delle preferenze del consumatore (proprio come molti esempi del mondo reale) è quasiconcave. Dicono a chiunque voglia saperne di più sul comportamento dei consumatori, gli economisti e le società che vendono beni di consumo, ad esempio dove e come i clienti rispondono ai cambiamenti di buoni importi o costi.