La differenza tra combinazioni e permutazioni

Attraverso la matematica e la statistica, dobbiamo sapere come contare. Ciò è particolarmente vero per alcuni problemi di probabilità. Supponiamo di avere un totale di n oggetti distinti e vuoi selezionare r di loro. Questo tocca direttamente un'area della matematica nota come combinatoria, che è lo studio del conteggio. Due dei modi principali per contarli r oggetti da n gli elementi sono chiamati permutazioni e combinazioni. Questi concetti sono strettamente correlati tra loro e facilmente confusi.

Qual è la differenza tra una combinazione e una permutazione? L'idea chiave è quella dell'ordine. Una permutazione presta attenzione all'ordine in cui selezioniamo i nostri oggetti. Lo stesso insieme di oggetti, ma preso in un ordine diverso ci darà permutazioni diverse. Con una combinazione, selezioniamo ancora r oggetti da un totale di n, ma l'ordine non è più considerato.

Un esempio di permutazioni

Per distinguere tra queste idee, prenderemo in considerazione il seguente esempio: quante permutazioni ci sono di due lettere dall'insieme a, b, c?

Qui elenchiamo tutte le coppie di elementi del set dato, prestando comunque attenzione all'ordine. Ci sono un totale di sei permutazioni. L'elenco di tutti questi sono: ab, ba, bc, cb, ac e ca. Si noti che come permutazioni ab e ba sono diversi perché in un caso un' è stato scelto per primo, e nell'altro un' è stato scelto secondo.

Un esempio di combinazioni

Ora risponderemo alla seguente domanda: quante combinazioni ci sono di due lettere dal set a, b, c?

Poiché abbiamo a che fare con combinazioni, non ci preoccupiamo più dell'ordine. Possiamo risolvere questo problema guardando indietro alle permutazioni e quindi eliminando quelle che includono le stesse lettere. Come combinazioni, ab e ba sono considerati uguali. Quindi ci sono solo tre combinazioni: ab, ac e bc.

formule

Per le situazioni che incontriamo con set più grandi, è troppo dispendioso in termini di tempo elencare tutte le possibili permutazioni o combinazioni e contare il risultato finale. Fortunatamente, ci sono formule che ci danno il numero di permutazioni o combinazioni di n oggetti presi r Al tempo.

In queste formule, usiamo la notazione abbreviata di n! chiamato n fattoriale. Il fattoriale dice semplicemente di moltiplicare tutti i numeri interi positivi minori o uguali n insieme. Quindi, per esempio, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Per definizione 0! = 1.

Il numero di permutazioni di n oggetti presi r alla volta è dato dalla formula:

P(n,r) = n!/ (n - r)!

Il numero di combinazioni di n oggetti presi r alla volta è dato dalla formula:

C(n,r) = n!/ [r!(n - r)!]

Formule al lavoro

Per vedere le formule al lavoro, diamo un'occhiata all'esempio iniziale. Il numero di permutazioni di un insieme di tre oggetti presi due alla volta è dato da P(3,2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. Questo corrisponde esattamente a ciò che abbiamo ottenuto elencando tutte le permutazioni.

Il numero di combinazioni di un insieme di tre oggetti presi due alla volta è dato da:

C(3,2) = 3! / [2! (3-2)!] = 6/2 = 3. Ancora una volta, questo si allinea esattamente con quello che abbiamo visto prima.

Le formule fanno sicuramente risparmiare tempo quando ci viene chiesto di trovare il numero di permutazioni di un set più grande. Ad esempio, quante permutazioni ci sono di un insieme di dieci oggetti presi tre alla volta? Ci vorrebbe un po 'per elencare tutte le permutazioni, ma con le formule, vediamo che ci sarebbero:

P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutazioni.

L'idea principale

Qual è la differenza tra permutazioni e combinazioni? La linea di fondo è che nel contare le situazioni che coinvolgono un ordine, dovrebbero essere usate le permutazioni. Se l'ordine non è importante, è necessario utilizzare le combinazioni.