La funzione di generazione del momento di una variabile casuale

Un modo per calcolare la media e la varianza di una distribuzione di probabilità è trovare i valori attesi delle variabili casuali X e X². Usiamo la notazione E(X) e E(X²) per indicare questi valori previsti. In generale, è difficile da calcolare E(X) e E(X²) direttamente. Per ovviare a questa difficoltà, usiamo qualche teoria matematica e calcolo più avanzati. Il risultato finale è qualcosa che semplifica i nostri calcoli.

La strategia per questo problema è definire una nuova funzione, di una nuova variabile t quella è chiamata la funzione generatrice del momento. Questa funzione ci consente di calcolare i momenti semplicemente prendendo dei derivati.

ipotesi

Prima di definire la funzione generatrice dei momenti, iniziamo impostando il palcoscenico con notazione e definizioni. Lasciamo X essere una variabile casuale discreta. Questa variabile casuale ha la funzione di massa di probabilità f(X). Lo spazio campione con cui stiamo lavorando verrà indicato da S.

Invece di calcolare il valore atteso di X, vogliamo calcolare il valore atteso di una funzione esponenziale correlata a X. Se c'è un numero reale positivo r tale che E(e^tX) esiste ed è finito per tutti t nell'intervallo [-r, r], quindi possiamo definire la funzione generatrice del momento di X.

Definizione

La funzione generatrice del momento è il valore atteso della funzione esponenziale sopra. In altre parole, diciamo che la funzione generatrice del momento di X è dato da:

M(t) = E(e^tX)

Questo valore atteso è la formula Σ e^tx f (X), in cui la sommatoria è presa in carico X nello spazio campione S. Questa può essere una somma finita o infinita, a seconda dello spazio campione utilizzato.

Proprietà

La funzione di generazione del momento ha molte caratteristiche che si collegano ad altri argomenti nelle statistiche probabilistiche e matematiche. Alcune delle sue caratteristiche più importanti includono:

• Il coefficiente di e^tb è la probabilità che X = B.
• Le funzioni di generazione del momento possiedono una proprietà di unicità. Se le funzioni di generazione del momento per due variabili casuali corrispondono l'una all'altra, le funzioni della massa di probabilità devono essere le stesse. In altre parole, le variabili casuali descrivono la stessa distribuzione di probabilità.
• Le funzioni di generazione del momento possono essere utilizzate per calcolare i momenti di X.

Calcolo dei momenti

L'ultimo elemento nell'elenco sopra spiega il nome delle funzioni generatrici del momento e anche la loro utilità. Alcuni matematici avanzati affermano che nelle condizioni che abbiamo definito, la derivata di qualsiasi ordine della funzione M (t) esiste per quando t = 0. Inoltre, in questo caso, possiamo cambiare l'ordine di somma e differenziazione rispetto a t per ottenere le seguenti formule (tutte le somme sono sopra i valori di X nello spazio campione S):

• M'(t) = Σ xe^tx f (X)
• M"(t) = Σ X²e^tx f (X)
• M"(t) = Σ X³e^tx f (X)
• M^(N)'(t) = Σ Xⁿe^tx f (X)

Se impostiamo t = 0 nelle formule precedenti, quindi il e^tx il termine diventa e⁰ = 1. Quindi otteniamo formule per i momenti della variabile casuale X:

• M'(0) = E(X)
• M"(0) = E(X²)
• M"(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

Ciò significa che se esiste la funzione generatrice del momento per una particolare variabile casuale, allora possiamo trovare la sua media e la sua varianza in termini di derivati ​​della funzione generatrice del momento. La media è M'(0) e la varianza è M"(0) - [M'(0)]².

Sommario

In sintesi, abbiamo dovuto approfondire alcune matematiche piuttosto potenti, quindi alcune cose sono state riviste. Anche se dobbiamo usare il calcolo per quanto sopra, alla fine, il nostro lavoro matematico è in genere più semplice che calcolando i momenti direttamente dalla definizione.