Comprensione delle equazioni equivalenti in algebra

Le equazioni equivalenti sono sistemi di equazioni che hanno le stesse soluzioni. Identificare e risolvere equazioni equivalenti è un'abilità preziosa, non solo nella classe di algebra ma anche nella vita di tutti i giorni. Dai un'occhiata ad esempi di equazioni equivalenti, come risolverli per una o più variabili e come potresti usare questa abilità al di fuori di una classe.

Key Takeaways

• Le equazioni equivalenti sono equazioni algebriche che hanno soluzioni o radici identiche.
• L'aggiunta o la sottrazione dello stesso numero o espressione su entrambi i lati di un'equazione produce un'equazione equivalente.
• Moltiplicare o dividere entrambi i lati di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero produce un'equazione equivalente.

Equazioni lineari con una variabile

Gli esempi più semplici di equazioni equivalenti non hanno alcuna variabile. Ad esempio, queste tre equazioni sono equivalenti tra loro:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Riconoscere queste equazioni è equivalente è grandioso, ma non particolarmente utile. Di solito, un problema di equazione equivalente ti chiede di risolvere una variabile per vedere se è la stessa (la stessa radice) come quello di un'altra equazione.

Ad esempio, le seguenti equazioni sono equivalenti:

• x = 5
• -2x = -10

In entrambi i casi, x = 5. Come lo sappiamo? Come risolverlo per l'equazione "-2x = -10"? Il primo passo è conoscere le regole delle equazioni equivalenti:

• L'aggiunta o la sottrazione dello stesso numero o espressione su entrambi i lati di un'equazione produce un'equazione equivalente.
• Moltiplicare o dividere entrambi i lati di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero produce un'equazione equivalente.
• Alzare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza dispari o prendere la stessa radice dispari produrrà un'equazione equivalente.
• Se entrambi i lati di un'equazione non sono negativi, elevare entrambi i lati di un'equazione alla stessa potenza pari o prendere la stessa radice uniforme darà un'equazione equivalente.

Esempio

Mettendo in pratica queste regole, determinare se queste due equazioni sono equivalenti:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Per risolvere questo problema, devi trovare "x" per ogni equazione. Se "x" è lo stesso per entrambe le equazioni, allora sono equivalenti. Se "x" è diverso (ovvero le equazioni hanno radici diverse), le equazioni non sono equivalenti. Per la prima equazione:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (sottraendo entrambi i lati dallo stesso numero)
• x = 5

Per la seconda equazione:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (sottraendo entrambi i lati dallo stesso numero)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dividendo entrambi i lati dell'equazione per lo stesso numero)
• x = 5

Quindi, sì, le due equazioni sono equivalenti perché x = 5 in ciascun caso.