Comprensione del fattoriale (!) In matematica e statistica

In matematica, simboli che hanno determinati significati in lingua inglese possono significare cose molto specializzate e diverse. Ad esempio, considera la seguente espressione:

3!

No, non abbiamo usato il punto esclamativo per dimostrare che siamo entusiasti di tre, e non dovremmo leggere l'ultima frase con enfasi. In matematica, l'espressione 3! viene letto come "tre fattoriale" ed è davvero un modo abbreviato per indicare la moltiplicazione di più numeri interi consecutivi.

Dato che ci sono molti posti in matematica e statistica in cui dobbiamo moltiplicare i numeri insieme, il fattoriale è abbastanza utile. Alcuni dei luoghi principali in cui si presenta sono la combinatoria e il calcolo delle probabilità.

Definizione

La definizione del fattoriale è quella per ogni numero intero positivo n, il fattoriale:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x… x 2 x 1

Esempi per piccoli valori

Per prima cosa vedremo alcuni esempi di fattoriale con piccoli valori di n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Come possiamo vedere, il fattoriale si ingrandisce molto rapidamente. Qualcosa che può sembrare piccolo, come 20! in realtà ha 19 cifre.

I fattoriali sono facili da calcolare, ma possono essere un po 'noiosi da calcolare. Fortunatamente, molti calcolatori hanno una chiave fattoriale (cercare il simbolo!). Questa funzione della calcolatrice automatizzerà le moltiplicazioni.

Un caso speciale

Un altro valore del fattoriale e uno per il quale la definizione standard sopra riportata non vale è quello del fattoriale zero. Se seguiamo la formula, non arriveremmo a nessun valore per 0 !. Non ci sono numeri interi positivi inferiori a 0. Per diversi motivi, è opportuno definire 0! = 1. Il fattoriale per questo valore si presenta in particolare nelle formule per combinazioni e permutazioni.

Calcoli più avanzati

Quando si tratta di calcoli, è importante pensare prima di premere il tasto fattoriale sulla nostra calcolatrice. Per calcolare un'espressione come 100! / 98! ci sono un paio di modi diversi per farlo.

Un modo è usare una calcolatrice per trovare entrambi 100! e 98 !, quindi dividere l'uno per l'altro. Sebbene questo sia un modo diretto per calcolare, ha alcune difficoltà ad esso associate. Alcuni calcolatori non sono in grado di gestire espressioni fino a 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (L'espressione 10¹⁵⁷ è una notazione scientifica che significa che moltiplichiamo per 1 seguito da 157 zeri.) Non solo questo numero è massiccio, ma è anche solo una stima del valore reale di 100!

Un altro modo per semplificare un'espressione con fattoriali come quello visto qui non richiede affatto una calcolatrice. Il modo per affrontare questo problema è riconoscere che possiamo riscrivere 100! non come 100 x 99 x 98 x 97 x… x 2 x 1, ma invece come 100 x 99 x 98! L'espressione 100! / 98! ora diventa (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.