Che cos'è un campo Sigma?

Ci sono molte idee dalla teoria degli insiemi che sottostanno alla probabilità. Una di queste idee è quella di un campo sigma. Un campo sigma si riferisce alla raccolta di sottoinsiemi di uno spazio campione che dovremmo usare per stabilire una definizione matematicamente formale di probabilità. I set nel campo sigma costituiscono gli eventi dal nostro spazio campione.

Definizione

La definizione di un campo sigma richiede che abbiamo uno spazio campione S insieme a una raccolta di sottoinsiemi di S. Questa raccolta di sottoinsiemi è un campo sigma se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

• Se il sottoinsieme UN è nel campo sigma, quindi lo è anche il suo complemento UN^C.
• Se UN_n  sono numerabilmente infiniti sottoinsiemi dal campo sigma, quindi sia l'intersezione che l'unione di tutti questi insiemi è anche nel campo sigma.

implicazioni

La definizione implica che due insiemi particolari fanno parte di ogni campo sigma. Dal momento che entrambi UN e UN^C sono nel campo sigma, così come l'intersezione. Questa intersezione è l'insieme vuoto. Pertanto l'insieme vuoto fa parte di ogni campo sigma.

Lo spazio campione S deve anche far parte del campo sigma. La ragione di ciò è che l'unione di UN e UN^C deve essere nel campo sigma. Questa unione è lo spazio di esempioS.

Ragionamento

Ci sono un paio di ragioni per cui questa particolare raccolta di set è utile. In primo luogo, considereremo perché sia ​​l'insieme che il suo complemento dovrebbero essere elementi della sigma-algebra. Il complemento nella teoria degli insiemi equivale alla negazione. Gli elementi nel complemento di UN sono gli elementi dell'insieme universale di cui non sono elementi UN. In questo modo, ci assicuriamo che se un evento fa parte dello spazio campione, anche quell'evento che non si verifica viene considerato un evento nello spazio campione.

Vogliamo anche l'unione e l'intersezione di una raccolta di insiemi nella sigma-algebra perché i sindacati sono utili per modellare la parola "o". L'evento che UN o B si verifica è rappresentato dall'unione di UN e B. Allo stesso modo, usiamo l'intersezione per rappresentare la parola "e". L'evento che UN e B si verifica è rappresentato dall'intersezione degli insiemi UN e B.

È impossibile intersecare fisicamente un numero infinito di insiemi. Tuttavia, possiamo pensare di fare questo come un limite di processi finiti. Questo è il motivo per cui includiamo anche l'intersezione e l'unione di numerosi sottoinsiemi. Per molti spazi campione infiniti, dovremmo formare unioni e intersezioni infinite.

Idee correlate

Un concetto correlato a un campo sigma è chiamato campo di sottoinsiemi. Un campo di sottoinsiemi non richiede che unioni e intersezioni numericamente infinite ne facciano parte. Invece, dobbiamo solo contenere unioni finite e intersezioni in un campo di sottoinsiemi.