Qual è la disuguaglianza di Markov?

La disuguaglianza di Markov è un risultato utile in probabilità che fornisce informazioni su una distribuzione di probabilità. L'aspetto notevole è che la disuguaglianza vale per qualsiasi distribuzione con valori positivi, indipendentemente dalle altre caratteristiche che ha. La disuguaglianza di Markov dà un limite superiore per la percentuale della distribuzione che è al di sopra di un valore particolare.

Dichiarazione della disuguaglianza di Markov

La disuguaglianza di Markov lo dice per una variabile casuale positiva X e qualsiasi numero reale positivo un', la probabilità che X è più grande di O uguale a un' è inferiore o uguale al valore atteso di X diviso per un'.

La descrizione di cui sopra può essere affermata in modo più succinto usando la notazione matematica. Nei simboli, scriviamo la disuguaglianza di Markov come:

P (X ≥ un') ≤ E( X) /un'

Illustrazione della disuguaglianza

Per illustrare la disuguaglianza, supponiamo di avere una distribuzione con valori non negativi (come una distribuzione chi-quadro). Se questa variabile casuale X ha un valore atteso di 3 esamineremo le probabilità per alcuni valori di un'.

• Per un' = 10 La disuguaglianza di Markov dice questo P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Quindi c'è una probabilità del 30% che X è maggiore di 10.
• Per un' = 30 La disuguaglianza di Markov dice questo P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Quindi c'è una probabilità del 10% che X è maggiore di 30.
• Per un' = 3 La disuguaglianza di Markov dice questo P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Sono sicuri eventi con una probabilità di 1 = 100%. Quindi questo dice che un valore della variabile casuale è maggiore o uguale a 3. Questo non dovrebbe essere troppo sorprendente. Se tutti i valori di X erano inferiori a 3, quindi anche il valore atteso sarebbe inferiore a 3.
• Come il valore di un' aumenta il quoziente E(X) /un' diventerà sempre più piccolo. Ciò significa che la probabilità è molto piccola X è molto, molto grande. Ancora una volta, con un valore atteso di 3, non ci aspetteremmo che ci sia gran parte della distribuzione con valori molto grandi.

Uso della disuguaglianza

Se sappiamo di più sulla distribuzione con cui stiamo lavorando, di solito possiamo migliorare la disuguaglianza di Markov. Il valore del suo utilizzo è che vale per qualsiasi distribuzione con valori non negativi.

Ad esempio, se conosciamo l'altezza media degli studenti in una scuola elementare. La disuguaglianza di Markov ci dice che non più di un sesto degli studenti può avere un'altezza maggiore di sei volte l'altezza media.

L'altro uso principale della disuguaglianza di Markov è dimostrare la disuguaglianza di Chebyshev. Questo fatto fa sì che il nome "disuguaglianza di Chebyshev" venga applicato anche alla disuguaglianza di Markov. La confusione della denominazione delle disuguaglianze è anche dovuta a circostanze storiche. Andrey Markov era lo studente di Pafnuty Chebyshev. Il lavoro di Chebyshev contiene l'ineguaglianza attribuita a Markov.