Qual è la distribuzione di Cauchy?

Una distribuzione di una variabile casuale è importante non per le sue applicazioni, ma per ciò che ci dice delle nostre definizioni. La distribuzione di Cauchy ne è un esempio, a volte indicato come esempio patologico. La ragione di ciò è che sebbene questa distribuzione sia ben definita e abbia una connessione con un fenomeno fisico, la distribuzione non ha una media o una varianza. In effetti, questa variabile casuale non possiede una funzione generatrice di momenti.

Definizione della distribuzione di Cauchy

Definiamo la distribuzione di Cauchy considerando uno spinner, come il tipo in un gioco da tavolo. Il centro di questo spinner sarà ancorato sul y asse nel punto (0, 1). Dopo aver ruotato lo spinner, estenderemo il segmento di linea dello spinner fino a quando non incrocia l'asse x. Questa sarà definita come la nostra variabile casuale X.

Lasciamo denotare il più piccolo dei due angoli che lo spinner crea con il y asse. Partiamo dal presupposto che questo filatore ha la stessa probabilità di formare qualsiasi angolo come un altro, e quindi W ha una distribuzione uniforme che varia da -π / 2 a π / 2.

La trigonometria di base ci fornisce una connessione tra le nostre due variabili casuali:

X = abbronzaturaW.

La funzione di distribuzione cumulativa di X è derivato come segue:

H(X) = P(X < X) = P(abbronzatura W < X) = P(W < arctanX)

Quindi usiamo il fatto che W è uniforme e questo ci dà:

H(X) = 0,5 + (arctan X) / Π

Per ottenere la funzione di densità di probabilità differenziamo la funzione di densità cumulativa. Il risultato è h(x) = 1/ [π (1 + X²)]

Caratteristiche della distribuzione di Cauchy

Ciò che rende interessante la distribuzione di Cauchy è che sebbene l'abbiamo definita usando il sistema fisico di uno spinner casuale, una variabile casuale con una distribuzione di Cauchy non ha una media, una varianza o una funzione generatrice di momenti. Non esistono tutti i momenti sull'origine utilizzati per definire questi parametri.

Iniziamo considerando la media. La media è definita come il valore atteso della nostra variabile casuale e quindi E [X] = ∫_-∞^∞X / [π (1 + X²)] dX.

Ci integriamo usando la sostituzione. Se impostiamo u = 1 +X² allora vediamo che du = 2X dX. Dopo aver effettuato la sostituzione, l'integrale improprio risultante non converge. Ciò significa che il valore atteso non esiste e che la media non è definita.

Allo stesso modo la varianza e la funzione di generazione del momento non sono definite.

Denominazione della distribuzione di Cauchy

La distribuzione di Cauchy prende il nome dal matematico francese Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Nonostante questa distribuzione sia stata nominata per Cauchy, le informazioni relative alla distribuzione sono state pubblicate per la prima volta da Poisson.