Qual è l'intersezione di due insiemi?

Quando si ha a che fare con la teoria degli insiemi, ci sono diverse operazioni per creare nuovi insiemi da quelli vecchi. Una delle operazioni di set più comuni si chiama intersezione. In poche parole, l'intersezione di due insiemi UN e B è l'insieme di tutti gli elementi che entrambi UN e B avere in comune.

Esamineremo i dettagli relativi all'intersezione nella teoria degli insiemi. Come vedremo, la parola chiave qui è la parola "e".

Un esempio

Per un esempio di come l'intersezione di due insiemi forma un nuovo insieme, consideriamo gli insiemi UN = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Per trovare l'intersezione di questi due insiemi, dobbiamo scoprire quali elementi hanno in comune. I numeri 3, 4, 5 sono elementi di entrambi gli insiemi, quindi le intersezioni di UN e B è 3. 4. 5].

Notazione per intersezione

Oltre a comprendere i concetti relativi alle operazioni di teoria degli insiemi, è importante essere in grado di leggere i simboli usati per indicare queste operazioni. Il simbolo di intersezione è talvolta sostituito dalla parola "e" tra due serie. Questa parola suggerisce la notazione più compatta per un'intersezione che viene generalmente utilizzata.

Il simbolo utilizzato per l'intersezione dei due insiemi UN e B è dato da UN ∩ B. Un modo per ricordare che questo simbolo ∩ si riferisce all'intersezione è notare la sua somiglianza con la A maiuscola, che è l'abbreviazione di "e".

Per vedere questa notazione in azione, fare riferimento all'esempio sopra. Qui abbiamo avuto i set UN = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Quindi scriveremmo l'equazione impostata UN ∩ B = 3, 4, 5.

Intersezione con il set vuoto

Un'identità di base che coinvolge l'intersezione ci mostra cosa succede quando prendiamo l'intersezione di qualsiasi set con l'insieme vuoto, indicato da # 8709. Il set vuoto è il set senza elementi. Se non ci sono elementi in almeno uno dei set di cui stiamo cercando di trovare l'intersezione, i due set non hanno elementi in comune. In altre parole, l'intersezione di qualsiasi set con il set vuoto ci darà il set vuoto.

Questa identità diventa ancora più compatta con l'uso della nostra notazione. Abbiamo l'identità: UN ∩ ∅ = ∅.

Intersezione con il set universale

Per l'altro estremo, cosa succede quando esaminiamo l'intersezione di un insieme con l'insieme universale? Simile a come la parola universo viene usata in astronomia per significare tutto, l'insieme universale contiene ogni elemento. Ne consegue che ogni elemento del nostro insieme è anche un elemento dell'insieme universale. Quindi l'intersezione di qualsiasi set con il set universale è il set con cui abbiamo iniziato.

Ancora una volta la nostra notazione viene in soccorso per esprimere questa identità in modo più succinto. Per qualsiasi set UN e il set universale U, UN ∩ U = UN.

Altre identità che coinvolgono l'intersezione

Esistono molte più equazioni impostate che implicano l'uso dell'operazione di intersezione. Naturalmente, è sempre bene esercitarsi usando il linguaggio della teoria degli insiemi. Per tutti i set UN, e B e D noi abbiamo:

• Proprietà riflessiva: UN ∩ UN =UN
• Proprietà commutativa: UN ∩ B = B ∩ UN
• Proprietà associativa: (UN ∩ B) ∩ D =UN ∩ (B ∩ D)
• Proprietà distributiva: (UN ∪ B) ∩ D = (UN ∩ D) ∪ (B ∩ D)
• Legge di DeMorgan I: (UN ∩ B)^C = UN^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (UN ∪ B)^C = UN^C ∩ B^C