Cos'è il paradosso di San Pietroburgo?

Sei per le strade di San Pietroburgo, in Russia, e un vecchio propone il seguente gioco. Lancia una moneta (e prenderà in prestito uno dei tuoi se non ti fidi che sia giusto). Se esce croce allora perdi e il gioco è finito. Se la moneta finisce in testa, allora vinci un rublo e il gioco continua. La moneta viene lanciata di nuovo. Se si tratta di code, il gioco termina. Se è testa, allora vinci altri due rubli. Il gioco continua in questo modo. Per ogni testa successiva raddoppiamo le nostre vincite del round precedente, ma al segno della prima coda, il gioco è fatto.

Quanto pagheresti per giocare a questo gioco? Quando consideriamo il valore atteso di questo gioco, dovresti cogliere l'occasione, indipendentemente dal costo da giocare. Tuttavia, dalla descrizione sopra, probabilmente non saresti disposto a pagare molto. Dopo tutto, c'è una probabilità del 50% di non vincere nulla. Questo è ciò che è noto come il paradosso di San Pietroburgo, dal nome della pubblicazione del 1738 di Daniel Bernoulli Commenti dell'Accademia Imperiale delle Scienze di San Pietroburgo.

Alcune probabilità

Cominciamo calcolando le probabilità associate a questo gioco. La probabilità che una moneta giusta arrivi a testa in su è 1/2. Ogni lancio di una moneta è un evento indipendente e quindi moltiplichiamo le probabilità eventualmente con l'uso di un diagramma ad albero.

• La probabilità di due teste di fila è (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• La probabilità di tre teste di fila è (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Per esprimere la probabilità di n si dirige in fila, dove n è un numero intero positivo che usiamo esponenti per scrivere 1/2ⁿ.

Alcuni pagamenti

Ora andiamo avanti e vediamo se possiamo generalizzare quali sarebbero le vincite in ogni round.

• Se hai una testa nel primo round vinci un rublo per quel round.
• Se c'è una testa nel secondo round, vinci due rubli in quel round.
• Se c'è una testa nel terzo round, allora vinci quattro rubli in quel round.
• Se sei stato abbastanza fortunato da arrivare fino al n^esimo round, quindi vincerai 2^n-1 rubli in quel round.

Valore atteso del gioco

Il valore atteso di una partita ci dice quale sarebbe la media delle vincite se giocassi molte volte. Per calcolare il valore atteso, moltiplichiamo il valore delle vincite per ogni round per la probabilità di arrivare a questo round, quindi sommiamo tutti questi prodotti insieme.

• Dal primo round, hai probabilità 1/2 e vincite di 1 rublo: 1/2 x 1 = 1/2
• Dal secondo turno, hai probabilità 1/4 e vincite di 2 rubli: 1/4 x 2 = 1/2
• Dal primo round, hai probabilità 1/8 e vincite di 4 rubli: 1/8 x 4 = 1/2
• Dal primo round, hai probabilità 1/16 e vincite di 8 rubli: 1/16 x 8 = 1/2
• Dal primo round, hai probabilità 1/2ⁿ e vincite di 2^n-1 rubli: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Il valore di ogni round è 1/2 e l'aggiunta dei risultati dal primo n round insieme ci dà un valore atteso di n/ 2 rubli. Da n può essere un numero intero positivo, il valore atteso è illimitato.

Il paradosso

Quindi cosa dovresti pagare per giocare? Un rublo, un migliaio di rubli o anche un miliardo di rubli sarebbero tutti, a lungo termine, inferiori al valore atteso. Nonostante il calcolo di cui sopra promette ricchezze indicibili, saremmo tutti riluttanti a pagare molto per giocare.

Esistono numerosi modi per risolvere il paradosso. Uno dei modi più semplici è che nessuno offrirebbe un gioco come quello sopra descritto. Nessuno ha le risorse infinite che ci vorrebbe per pagare qualcuno che ha continuato a capovolgere.

Un altro modo per risolvere il paradosso consiste nel sottolineare quanto sia improbabile ottenere qualcosa come 20 teste di fila. Le probabilità che ciò accada sono migliori che vincere la maggior parte delle lotterie statali. La gente gioca regolarmente a queste lotterie per cinque dollari o meno. Quindi il prezzo per giocare a San Pietroburgo non dovrebbe probabilmente superare qualche dollaro.

Se l'uomo di San Pietroburgo dice che il suo gioco costerà qualcosa di più di qualche rublo, dovresti educatamente rifiutare e andartene. I rubli non valgono comunque molto.