Introduzione alla matematica vettoriale

Questa è un'introduzione di base, anche se si spera abbastanza completa, a lavorare con i vettori. I vettori si manifestano in un'ampia varietà di modi dallo spostamento, dalla velocità e dall'accelerazione a forze e campi. Questo articolo è dedicato alla matematica dei vettori; la loro applicazione in situazioni specifiche sarà affrontata altrove.

Vettori e scalari

UN quantità vettoriale, o vettore, fornisce informazioni non solo sull'entità ma anche sulla direzione della quantità. Quando si danno indicazioni per una casa, non è sufficiente dire che si trova a 10 miglia di distanza, ma la direzione di quelle 10 miglia deve anche essere fornita affinché le informazioni siano utili. Le variabili che sono vettori saranno indicate con una variabile in grassetto, anche se è comune vedere vettori indicati con piccole frecce sopra la variabile.

Proprio come non diciamo che l'altra casa si trova a -10 miglia di distanza, la grandezza di un vettore è sempre un numero positivo, o piuttosto il valore assoluto della "lunghezza" del vettore (anche se la quantità potrebbe non essere una lunghezza, può essere una velocità, un'accelerazione, una forza, ecc.) Un negativo davanti a un vettore non indica un cambiamento nella grandezza, ma piuttosto nella direzione del vettore.

Negli esempi sopra, la distanza è la quantità scalare (10 miglia) ma Dislocamento è la quantità vettoriale (10 miglia a nord-est). Allo stesso modo, la velocità è una quantità scalare mentre la velocità è una quantità vettoriale.

UN vettore unitario è un vettore che ha una grandezza di uno. Un vettore che rappresenta un vettore unitario è di solito anche in grassetto, anche se avrà un carato (^) sopra di esso per indicare la natura unitaria della variabile. Il vettore unitario X, quando scritto con un carato, viene generalmente letto come "x-hat" perché il carato sembra un po 'come un cappello sulla variabile.

Il zero vettore, o vettore nullo, è un vettore di magnitudo zero. È scritto come 0 in questo articolo.

Componenti vettoriali

I vettori sono generalmente orientati su un sistema di coordinate, il più popolare dei quali è il piano cartesiano bidimensionale. Il piano cartesiano ha un asse orizzontale che è etichettato x e un asse verticale etichettato y. Alcune applicazioni avanzate di vettori in fisica richiedono l'uso di uno spazio tridimensionale, in cui gli assi sono x, ye z. Questo articolo tratterà principalmente del sistema bidimensionale, sebbene i concetti possano essere ampliati con una certa cura a tre dimensioni senza troppi problemi.

I vettori nei sistemi di coordinate a più dimensioni possono essere suddivisi in loro vettori componenti. Nel caso bidimensionale, questo si traduce in a x-componente e a y-componente. Quando si suddivide un vettore nei suoi componenti, il vettore è una somma dei componenti:

F = F_X + F_y

thetaF_XF_yF

F_X / F = cos theta e F_y / F = peccato thetache ci dà
F_X = F cos theta e F_y = F peccato theta

Si noti che i numeri qui sono la grandezza dei vettori. Conosciamo la direzione dei componenti, ma stiamo cercando di trovare la loro grandezza, quindi eliminiamo le informazioni direzionali ed eseguiamo questi calcoli scalari per capire la grandezza. Un'ulteriore applicazione della trigonometria può essere utilizzata per trovare altre relazioni (come la tangente) in relazione tra alcune di queste quantità, ma penso che per ora sia abbastanza.

Per molti anni, l'unica matematica che uno studente impara è la matematica scalare. Se viaggi 5 miglia a nord e 5 miglia a est, hai viaggiato per 10 miglia. L'aggiunta di quantità scalari ignora tutte le informazioni sulle direzioni.

I vettori sono manipolati in modo leggermente diverso. La direzione deve sempre essere presa in considerazione durante la loro manipolazione.

Aggiunta di componenti

Quando aggiungi due vettori, è come se tu prendessi i vettori e li mettessi da un capo all'altro, creando un nuovo vettore che va dal punto iniziale al punto finale. Se i vettori hanno la stessa direzione, significa solo aggiungere le magnitudini, ma se hanno direzioni diverse, può diventare più complesso.