Ajax è noto per le sue dimensioni e forza, tanto che la linea di tag di un prodotto di pulizia popolare era "Ajax: più forte dello sporco". In realtà c'erano due eroi greci nella guerra di Troia di nome Ajax. Il altro, l'Ajax fisicamente molto più piccolo è l'Ajean Oilean o l'Ajax the Lesser.
L'Ajax il maggiore è raffigurato con un grande scudo che viene paragonato a un muro.
Ajax il Maggiore era il figlio del re dell'isola di Salamina e il fratellastro di Teucer, un arciere dalla parte greca nella guerra di Troia. La madre di Teucer era Hesione, sorella del re di Troia Priamo. La madre di Ajax era Periboea, figlia di Alcathus, figlio di Pelope, secondo Apollodoro III.12.7. Teucer e Ajax avevano lo stesso padre, Argonaut e il cacciatore di cinghiali calidonesi Telamon.
Si dice che il nome Ajax (Gk. Aias) sia basato sull'aspetto di un'aquila (Gk. Aietos) inviata da Zeus in risposta alla preghiera di Telamon per un figlio.
Ajax il Maggiore fu uno dei pretendenti di Elena, per cui fu obbligato dal giuramento di Tindaro a unirsi alle forze greche nella guerra di Troia. L'Ajax contribuì con 12 navi dei Salamina allo sforzo bellico acheo.
Ajax e Hector hanno combattuto in combattimento singolo. La loro battaglia fu terminata dagli araldi. I due eroi si scambiarono quindi doni, con Hector che ricevette una cintura dall'Ajax e gli diede una spada. Fu con la cintura dell'Ajax che Achille trascinò Ettore.
Quando Achille fu ucciso, la sua armatura doveva essere assegnata al successivo più grande eroe greco. Ajax pensava che dovesse andare da lui. L'Ajax impazzì e cercò di uccidere i suoi compagni quando l'armatura fu assegnata a Ulisse, invece. Atena intervenne facendo credere all'Ajax che il bestiame fosse il suo ex alleato. Quando si rese conto di aver massacrato la mandria, si suicidò come unica fine onorevole. Ajax usò la spada che Hector gli aveva dato per uccidersi.
La storia della follia e della sepoltura disgraziata dell'Ajax appare nel Piccola Iliade. Vedi: "Ajax's Burial in Early Greek Epic", di Philip Holt; L'American Journal of Philology, Vol. 113, n. 3 (autunno, 1992), pagg. 319-331.
Persino nella sua vita nell'aldilà, nell'Inferno, l'Ajax era ancora arrabbiato e non parlava con Ulisse.