Un esempio di test Chi-quadrato per un esperimento multinomiale
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Un uso di una distribuzione chi-quadro è con test di ipotesi per esperimenti multinomiali. Per vedere come funziona questo test di ipotesi, esamineremo i seguenti due esempi. Entrambi gli esempi funzionano con la stessa serie di passaggi:
- Forma l'ipotesi nulla e alternativa
- Calcola la statistica del test
- Trova il valore critico
- Prendi una decisione sul rifiuto o meno della nostra ipotesi nulla.
Esempio 1: una moneta giusta
Per il nostro primo esempio, vogliamo guardare una moneta. Una moneta giusta ha la stessa probabilità di 1/2 di salire testa o croce. Lanciamo una moneta 1000 volte e registriamo i risultati di un totale di 580 teste e 420 code. Vogliamo testare l'ipotesi con un livello di confidenza del 95% che la moneta che abbiamo lanciato sia giusta. Più formalmente, l'ipotesi nulla H0 è che la moneta è giusta. Poiché stiamo confrontando le frequenze osservate dei risultati del lancio di una moneta con le frequenze attese di una moneta equa idealizzata, dovrebbe essere usato un test chi-quadro.
Calcola la statistica Chi-Square
Iniziamo calcolando la statistica chi-quadro per questo scenario. Ci sono due eventi, testa e croce. Heads ha una frequenza osservata di f1 = 580 con frequenza prevista di e1 = 50% x 1000 = 500. Le code hanno una frequenza osservata di f2 = 420 con una frequenza prevista di e1 = 500.
Ora usiamo la formula per la statistica chi-quadro e vediamo che χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/ 500 + (-80)2/ 500 = 25.6.
Trova il valore critico
Successivamente, dobbiamo trovare il valore critico per la corretta distribuzione chi-quadro. Poiché ci sono due risultati per la moneta, ci sono due categorie da considerare. Il numero di gradi di libertà è uno in meno del numero di categorie: 2 - 1 = 1. Usiamo la distribuzione chi-quadro per questo numero di gradi di libertà e vediamo che χ20.95= 3.841.
Rifiuta o Rifiuta?
Infine, confrontiamo la statistica chi-quadrato calcolata con il valore critico della tabella. Dal 25.6> 3.841, rifiutiamo l'ipotesi nulla che questa sia una moneta giusta.
Esempio 2: A Die Die
Un dado giusto ha la stessa probabilità di 1/6 di lanciare uno, due, tre, quattro, cinque o sei. Tiriamo un dado 600 volte e notiamo che lanciamo un 106 volte, due 90 volte, tre 98 volte, quattro 102 volte, cinque 100 volte e sei 104 volte. Vogliamo testare l'ipotesi con un livello di confidenza del 95% che abbiamo un dado equo.
Calcola la statistica Chi-Square
Vi sono sei eventi, ciascuno con una frequenza prevista di 1/6 x 600 = 100. Le frequenze osservate sono f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Ora usiamo la formula per la statistica chi-quadro e vediamo che χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Trova il valore critico
Successivamente, dobbiamo trovare il valore critico per la corretta distribuzione chi-quadro. Poiché ci sono sei categorie di risultati per il dado, il numero di gradi di libertà è uno in meno di questo: 6 - 1 = 5. Usiamo la distribuzione chi-quadro per cinque gradi di libertà e vediamo che χ20.95= 11,071.
Rifiuta o Rifiuta?
Infine, confrontiamo la statistica chi-quadrato calcolata con il valore critico della tabella. Poiché la statistica chi-quadrato calcolata è 1.6 è inferiore al nostro valore critico di 11,071, non riusciamo a respingere l'ipotesi nulla.
