Un'introduzione alla teoria delle code

Teoria delle code è lo studio matematico dell'accodamento o dell'attesa in fila. Le code contengono i clienti (o "elementi") come persone, oggetti o informazioni. Le code si formano quando ci sono risorse limitate per fornire a servizio. Ad esempio, se ci sono 5 registratori di cassa in un negozio di alimentari, si formeranno le code se più di 5 clienti desiderano pagare i propri articoli contemporaneamente.

Un fondamento sistema di accodamento consiste in un processo di arrivo (in che modo i clienti arrivano in coda, quanti clienti sono presenti in totale), la coda stessa, il processo di assistenza per la partecipazione a tali clienti e le partenze dal sistema.

Matematico modelli di accodamento sono spesso utilizzati in software e aziende per determinare il modo migliore di utilizzare risorse limitate. I modelli di accodamento possono rispondere a domande come: Qual è la probabilità che un cliente attenda 10 minuti in linea? Qual è il tempo medio di attesa per cliente?

Le seguenti situazioni sono esempi di come applicare la teoria delle code:

In attesa in fila presso una banca o un negozio
In attesa che un rappresentante del servizio clienti risponda a una chiamata dopo che la chiamata è stata messa in attesa
In attesa che arrivi un treno
In attesa che un computer esegua un'attività o risponda
In attesa di un autolavaggio automatizzato per pulire una linea di automobili

Caratterizzazione di un sistema di accodamento

I modelli di accodamento analizzano il modo in cui i clienti (inclusi persone, oggetti e informazioni) ricevono un servizio. Un sistema di accodamento contiene:

Processo di arrivo. Il processo di arrivo è semplicemente come arrivano i clienti. Possono entrare in una coda da soli o in gruppi e possono arrivare a determinati intervalli o in modo casuale.
Comportamento. Come si comportano i clienti quando sono in linea? Alcuni potrebbero essere disposti ad aspettare il loro posto in coda; altri possono diventare impazienti e andarsene. Altri ancora potrebbero decidere di ricongiungersi alla coda in un secondo momento, ad esempio quando vengono messi in attesa con il servizio clienti e decidono di richiamare nella speranza di ricevere un servizio più veloce.
Come vengono assistiti i clienti. Ciò include il periodo di tempo in cui un cliente viene assistito, il numero di server disponibili per aiutare i clienti, indipendentemente dal fatto che i clienti vengano serviti uno per uno o in lotti e l'ordine in cui i clienti vengono assistiti, chiamato anche disciplina del servizio.
Disciplina del servizio si riferisce alla regola in base alla quale viene selezionato il cliente successivo. Sebbene molti scenari di vendita al dettaglio utilizzino la regola del "primo arrivato, primo servito", altre situazioni possono richiedere altri tipi di servizio. Ad esempio, i clienti possono essere serviti in ordine di priorità o in base al numero di articoli di cui necessitano assistenza (ad esempio in una corsia espressa in un negozio di alimentari). A volte, l'ultimo cliente che arriva viene servito per primo (come nel caso di una pila di piatti sporchi, dove quello in cima sarà il primo ad essere lavato).
Sala d'attesa. Il numero di clienti che possono attendere in coda potrebbe essere limitato in base allo spazio disponibile.

Matematica della teoria delle code

Notazione di Kendall è una notazione abbreviata che specifica i parametri di un modello di accodamento di base. La notazione di Kendall è scritta nel formato A / S / c / B / N / D, dove ciascuna delle lettere indica parametri diversi.

Il termine A indica quando i clienti arrivano in coda, in particolare il tempo tra gli arrivi o tempi interarrival. Matematicamente, questo parametro specifica la distribuzione di probabilità che seguono i tempi interarrival. Una distribuzione di probabilità comune usata per il termine A è la distribuzione di Poisson.
Il termine S descrive il tempo necessario per la manutenzione di un cliente dopo che ha lasciato la coda. Matematicamente, questo parametro specifica la distribuzione di probabilità che questi tempi di servizio Seguire. La distribuzione di Poisson è anche comunemente usata per il termine S..
Il termine c specifica il numero di server nel sistema di accodamento. Il modello presuppone che tutti i server nel sistema siano identici, quindi possono essere descritti dal termine S sopra.
Il termine B specifica il numero totale di articoli che possono essere nel sistema e include gli articoli che sono ancora in coda e quelli che vengono sottoposti a manutenzione. Sebbene molti sistemi nel mondo reale abbiano una capacità limitata, il modello è più facile da analizzare se questa capacità è considerata infinita. Di conseguenza, se la capacità di un sistema è abbastanza grande, si presume che il sistema sia infinito.
Il termine N specifica il numero totale di potenziali clienti, ovvero il numero di clienti che potrebbero mai entrare nel sistema di accodamento, che può essere considerato finito o infinito.
Il termine D specifica la disciplina di servizio del sistema di accodamento, come primo arrivato, primo servito o ultimo in arrivo.

La legge di Little, che è stato dimostrato per la prima volta dal matematico John Little, afferma che il numero medio di oggetti in una coda può essere calcolato moltiplicando la velocità media alla quale gli oggetti arrivano nel sistema per la quantità media di tempo che trascorrono in esso.

In notazione matematica, la legge di Little è: L = λW
L è il numero medio di articoli, λ è il tasso di arrivo medio degli articoli nel sistema di accodamento e W è il tempo medio trascorso dagli articoli nel sistema di accodamento.
La legge di Little presuppone che il sistema sia in uno "stato stazionario" - le variabili matematiche che caratterizzano il sistema non cambiano nel tempo.

Sebbene la legge di Little necessiti solo di tre input, è abbastanza generale e può essere applicata a molti sistemi di accodamento, indipendentemente dal tipo di elementi nella coda o dal modo in cui gli elementi vengono elaborati nella coda. La legge di Little può essere utile per analizzare le prestazioni di una coda nel tempo o per valutare rapidamente le prestazioni di una coda.

Ad esempio: un'azienda di scatole da scarpe vuole capire il numero medio di scatole da scarpe che sono immagazzinate in un magazzino. L'azienda sa che il tasso medio di arrivo delle scatole nel magazzino è di 1.000 scatole da scarpe all'anno e che il tempo medio trascorso nel magazzino è di circa 3 mesi o ¼ di anno. Pertanto, il numero medio di scatole per scarpe nel magazzino è dato da (1000 scatole per scarpe / anno) x (¼ anno) o 250 scatole per scarpe.

Key Takeaways

La teoria dell'accodamento è lo studio matematico dell'accodamento o dell'attesa in linea.
Le code contengono "clienti" come persone, oggetti o informazioni. Le code si formano quando ci sono risorse limitate per fornire un servizio.
La teoria delle code può essere applicata a situazioni che vanno dall'attesa in fila al supermercato all'attesa di un computer per eseguire un'attività. Viene spesso utilizzato in software e applicazioni aziendali per determinare il modo migliore di utilizzare risorse limitate.
La notazione di Kendall può essere usata per specificare i parametri di un sistema di accodamento.
La legge di Little è un'espressione semplice ma generale che può fornire una rapida stima del numero medio di elementi in una coda.

fonti

Beasley, J. E. "Teoria dell'accodamento".
Boxma, O. J. "Modellazione stocastica di prestazioni". 2008.
Lilja, D. Misurare le prestazioni del computer: una guida per professionisti, 2005.
Little, J. e Graves, S. "Capitolo 5: Legge di Little" Building Intuition: approfondimenti da modelli e principi di gestione delle operazioni di base. Springer Science + Business Media, 2008.
Mulholland, B. "La legge di Little: come analizzare i tuoi processi (con bombardieri invisibili)." Process.st, 2017.

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