Tabella binomiale per n = 2, 3, 4, 5 e 6

Un'importante variabile casuale discreta è una variabile casuale binomiale. La distribuzione di questo tipo di variabile, indicata come distribuzione binomiale, è completamente determinata da due parametri: n e p. Qui n è il numero di prove e p è la probabilità di successo. Le tabelle seguenti sono per n = 2, 3, 4, 5 e 6. Le probabilità in ciascuna sono arrotondate al terzo decimale.

Prima di utilizzare la tabella, è importante determinare se è necessario utilizzare una distribuzione binomiale. Per utilizzare questo tipo di distribuzione, dobbiamo assicurarci che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

Abbiamo un numero finito di osservazioni o prove.
Il risultato del processo di insegnamento può essere classificato come successo o fallimento.
La probabilità di successo rimane costante.
Le osservazioni sono indipendenti l'una dall'altra.

La distribuzione binomiale dà la probabilità di r successi in un esperimento per un totale di n prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Le probabilità sono calcolate dalla formula C(n, r)p^r(1 - p)^{n - r} dove C(n, r) è la formula per le combinazioni.

Ogni voce nella tabella è organizzata in base ai valori di p e di r. C'è una tabella diversa per ogni valore di n.

Altre tabelle

Per altre tabelle di distribuzione binomiale: n = 7 a 9, n = 10 a 11. Per situazioni in cui np e n(1 - p) sono maggiori o uguali a 10, possiamo usare l'approssimazione normale alla distribuzione binomiale. In questo caso, l'approssimazione è molto buona e non richiede il calcolo dei coefficienti binomiali. Ciò fornisce un grande vantaggio perché questi calcoli binomiali possono essere abbastanza coinvolti.

Esempio

Per vedere come usare la tabella, prenderemo in considerazione il seguente esempio di genetica. Supponiamo che siamo interessati a studiare la prole di due genitori che conosciamo entrambi hanno un gene recessivo e dominante. La probabilità che una prole erediti due copie del gene recessivo (e quindi abbia il carattere recessivo) è 1/4.

Supponiamo di voler considerare la probabilità che un certo numero di bambini in una famiglia di sei membri possieda questo tratto. Permettere X essere il numero di bambini con questo tratto. Guardiamo al tavolo per n = 6 e la colonna con p = 0,25 e vedere quanto segue:

0,178, 0,356, 0,297, 0,132, 0,033, 0,004, 0.000

Questo significa per il nostro esempio che

P (X = 0) = 17,8%, che è la probabilità che nessuno dei bambini abbia il tratto recessivo.
P (X = 1) = 35,6%, che è la probabilità che uno dei bambini abbia il tratto recessivo.
P (X = 2) = 29,7%, che è la probabilità che due dei bambini abbiano il tratto recessivo.
P (X = 3) = 13,2%, che è la probabilità che tre dei bambini abbiano il tratto recessivo.
P (X = 4) = 3,3%, che è la probabilità che quattro dei bambini abbiano il tratto recessivo.
P (X = 5) = 0,4%, che è la probabilità che cinque dei bambini abbiano il tratto recessivo.

Tabelle per n = 2 a n = 6

n = 2

	p	.01	.05	.10	.15	.20	.25	.30	.35	.40	.45	.50	.55	.60	.65	.70	.75	.80	.85	.90	.95
r	0	.980	.902	.810	.723	.640	.563	.490	.423	.360	.303	.250	.203	.160	.123	.090	.063	.040	.023	.010	.002
	1	.020	.095	.180	.255	.320	.375	.420	.455	.480	.495	.500	.495	.480	.455	.420	.375	.320	.255	.180	.095
	2	.000	.002	.010	.023	.040	.063	.090	.123	.160	.203	.250	.303	.360	.423	.490	.563	.640	.723	.810	.902

n = 3

	p	.01	.05	.10	.15	.20	.25	.30	.35	.40	.45	.50	.55	.60	.65	.70	.75	.80	.85	.90	.95
r	0	.970	.857	.729	.614	.512	.422	.343	.275	.216	.166	.125	.091	.064	.043	.027	.016	.008	.003	.001	.000
	1	.029	.135	.243	.325	.384	.422	.441	.444	.432	.408	.375	.334	.288	.239	.189	.141	.096	.057	.027	.007
	2	.000	.007	.027	.057	.096	.141	.189	.239	.288	.334	.375	.408	.432	.444	.441	.422	.384	.325	.243	.135
	3	.000	.000	.001	.003	.008	.016	.027	.043	.064	.091	.125	.166	.216	.275	.343	.422	.512	.614	.729	.857

Scienza