Tabella binomiale per n = 7, n = 8 e n = 9
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Una variabile casuale binomiale fornisce un esempio importante di una variabile casuale discreta. La distribuzione binomiale, che descrive la probabilità per ciascun valore della nostra variabile casuale, può essere determinata completamente dai due parametri: n e p. Qui n è il numero di prove indipendenti e p è la costante probabilità di successo in ogni prova. Le tabelle seguenti forniscono le probabilità binomiali per n = 7,8 e 9. Le probabilità in ciascuna sono arrotondate al terzo decimale.
Dovrebbe essere usata una distribuzione binomiale? Prima di saltare per utilizzare questa tabella, dobbiamo verificare che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
- Abbiamo un numero finito di osservazioni o prove.
- Il risultato di ogni prova può essere classificato come successo o fallimento.
- La probabilità di successo rimane costante.
- Le osservazioni sono indipendenti l'una dall'altra.
Quando queste quattro condizioni sono soddisfatte, la distribuzione binomiale darà la probabilità di r successi in un esperimento per un totale di n prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Le probabilità nella tabella sono calcolate dalla formula C(n, r)pr(1 - p)n - r dove C(n, r) è la formula per le combinazioni. Esistono tabelle separate per ogni valore di n. Ogni voce nella tabella è organizzata in base ai valori di p e di r.
Altre tabelle
Abbiamo per altre tabelle di distribuzione binomiale n = Da 2 a 6, n = 10 a 11. Quando i valori di np e n(1 - p) sono entrambi maggiori o uguali a 10, possiamo usare l'approssimazione normale alla distribuzione binomiale. Questo ci dà una buona approssimazione delle nostre probabilità e non richiede il calcolo dei coefficienti binomiali. Ciò fornisce un grande vantaggio perché questi calcoli binomiali possono essere abbastanza coinvolti.
Esempio
La genetica ha molte connessioni con la probabilità. Ne vedremo uno per illustrare l'uso della distribuzione binomiale. Supponiamo di sapere che la probabilità che una prole erediti due copie di un gene recessivo (e quindi possiede il tratto recessivo che stiamo studiando) è 1/4.
Inoltre, vogliamo calcolare la probabilità che un certo numero di bambini in una famiglia di otto membri possieda questo tratto. Permettere X essere il numero di bambini con questo tratto. Guardiamo al tavolo per n = 8 e la colonna con p = 0,25 e vedere quanto segue:
.100
.267.311.208.087.023.004
Questo significa per il nostro esempio che
- P (X = 0) = 10,0%, che è la probabilità che nessuno dei bambini abbia il tratto recessivo.
- P (X = 1) = 26,7%, che è la probabilità che uno dei bambini abbia il tratto recessivo.
- P (X = 2) = 31,1%, che è la probabilità che due dei bambini abbiano il tratto recessivo.
- P (X = 3) = 20,8%, che è la probabilità che tre dei bambini abbiano il tratto recessivo.
- P (X = 4) = 8,7%, che è la probabilità che quattro dei bambini abbiano il tratto recessivo.
- P (X = 5) = 2,3%, che è la probabilità che cinque dei bambini abbiano il tratto recessivo.
- P (X = 6) = 0,4%, che è la probabilità che sei dei bambini abbiano il carattere recessivo.
Tabelle per n = 7 a n = 9
n = 7
| p | .01 | .05 | .10 | .15 | .20 | .25 | .30 | .35 | .40 | .45 | .50 | .55 | .60 | .65 | .70 | .75 | .80 | .85 | .90 | .95 | |
| r | 0 | .932 | .698 | .478 | .321 | .210 | .133 | .082 | .049 | .028 | .015 | .008 | .004 | .002 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 |
| 1 | .066 | .257 | .372 | .396 | .367 | .311 | .247 | .185 | .131 | .087 | .055 | .032 | .017 | .008 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 2 | .002 | .041 | .124 | .210 | .275 | .311 | .318 | .299 | .261 | .214 | .164 | .117 | .077 | .047 | .025 | .012 | .004 | .001 | .000 | .000 | |
| 3 | .000 | .004 | .023 | .062 | .115 | .173 | .227 | .268 | .290 | .292 | .273 | .239 | .194 | .144 | .097 | .058 | .029 | .011 | .003 | .000 | |
| 4 | .000 | .000 | .003 | .011 | .029 | .058 | .097 | .144 | .194 | .239 | .273 | .292 | .290 | ; 268 | .227 | .173 | .115 | .062 | .023 | .004 | |
| 5 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .012 | .025 | .047 | .077 | .117 | .164 | .214 | .261 | .299 | .318 | .311 | .275 | .210 | .124 | .041 | |
| 6 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .008 | .017 | .032 | .055 | .087 | .131 | .185 | .247 | .311 | .367 | .396 | .372 | .257 | |
| 7 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .002 | .004 | .008 | .015 | .028 | .049 | .082 | .133 | .210 | .321 | .478 | .698 |
n = 8
| p | .01 | .05 | .10 | .15 | .20 | .25 | .30 | .35 | .40 | .45 | .50 | .55 | .60 | .65 | .70 | .75 | .80 | .85 | .90 | .95 | |
| r | 0 | .923 | .663 | .430 | .272 | .168 | .100 | .058 | .032 | .017 | .008 | .004 | .002 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 |
| 1 | .075 | .279 | .383 | .385 | .336 | .267 | .198 | .137 | .090 | .055 | .031 | .016 | .008 | .003 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 2 | .003 | .051 | .149 | .238 | .294 | .311 | .296 | .259 | .209 | .157 | .109 | .070 | .041 | .022 | .010 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | |
| 3 | .000 | .005 | .033 | .084 | .147 | .208 | .254 | .279 | .279 | .257 | .219 | .172 | .124 | .081 | .047 | .023 | .009 | .003 | .000 | .000 | |
| 4 | .000 | .000 | .005 | : 018 | .046 | .087 | .136 | .188 | .232 | .263 | .273 | .263 | .232 | .188 | .136 | .087 | .046 | .018 | .005 | .000 | |
| 5 | .000 | .000 | .000 | .003 | .009 | .023 | .047 | .081 | .124 | .172 | .219 | .257 | .279 | .279 | .254 | .208 | .147 | .084 | .033 | .005 | |
| 6 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .010 | .022 | .041 | .070 | .109 | .157 | .209 | .259 | .296 | .311 | .294 | .238 | .149 | .051 | |
| 7 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .003 | .008 | .016 | .031 | .055 | .090 | .137 | .198 | .267 | .336 | .385 | .383 | .279 | |
| 8 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | 000 | .000 | .000 | .001 | .002 | .004 | .008 | .017 | .032 | .058 | .100 | .168 | .272 | .430 | .663 |
n = 9
