Gradi di libertà in statistica e matematica

In statistica, i gradi di libertà vengono utilizzati per definire il numero di quantità indipendenti che possono essere assegnate a una distribuzione statistica. Questo numero si riferisce in genere a un numero intero positivo che indica la mancanza di restrizioni sulla capacità di una persona di calcolare i fattori mancanti da problemi statistici.

I gradi di libertà fungono da variabili nel calcolo finale di una statistica e vengono utilizzati per determinare il risultato di diversi scenari in un sistema e in matematica i gradi di libertà definiscono il numero di dimensioni in un dominio necessario per determinare il vettore completo.

Per illustrare il concetto di un grado di libertà, esamineremo un calcolo di base relativo alla media del campione e per trovare la media di un elenco di dati, aggiungiamo tutti i dati e dividiamo per il numero totale di valori.

Un'illustrazione con una media campionaria

Per un momento supponiamo di sapere che la media di un set di dati è 25 e che i valori in questo set sono 20, 10, 50 e un numero sconosciuto. La formula per una media campionaria ci fornisce l'equazione (20 + 10 + 50 + x) / 4 = 25, dove X denota l'ignoto, usando qualche algebra di base, si può quindi determinare che il numero mancante, X, è uguale a 20.

Modifichiamo leggermente questo scenario. Ancora una volta supponiamo di sapere che la media di un set di dati è 25. Tuttavia, questa volta i valori nel set di dati sono 20, 10 e due valori sconosciuti. Queste incognite potrebbero essere diverse, quindi utilizziamo due variabili diverse, X, e y, per indicare questo. L'equazione risultante è (20 + 10 + x + y) / 4 = 25. Con un po 'di algebra, otteniamo y = 70- X. La formula è scritta in questo modulo per mostrare che una volta abbiamo scelto un valore per X, il valore per y è completamente determinato. Abbiamo una scelta da fare e questo dimostra che esiste un grado di libertà.

Ora vedremo una dimensione del campione di cento. Se sappiamo che la media di questi dati di esempio è 20, ma non conosciamo i valori di nessuno dei dati, allora ci sono 99 gradi di libertà. Tutti i valori devono sommarsi a un totale di 20 x 100 = 2000. Una volta che abbiamo i valori di 99 elementi nel set di dati, l'ultimo è stato determinato.

T-score degli studenti e distribuzione Chi-Square

I gradi di libertà svolgono un ruolo importante quando si utilizza lo Studente t-tabella dei punteggi. Ce ne sono effettivamente diversi t-score distribuzioni. Distinguiamo tra queste distribuzioni per mezzo dei gradi di libertà.

Qui la distribuzione di probabilità che usiamo dipende dalla dimensione del nostro campione. Se la dimensione del nostro campione è n, allora il numero di gradi di libertà è n-1. Ad esempio, una dimensione del campione di 22 richiederebbe di utilizzare la riga del file t-tabella dei punteggi con 21 gradi di libertà.

L'uso di una distribuzione chi-quadro richiede anche l'uso di gradi di libertà. Qui, in modo identico a quello del t-score distribuzione, la dimensione del campione determina quale distribuzione utilizzare. Se la dimensione del campione è n, poi ci sono n-1 gradi di libertà.

Deviazione standard e tecniche avanzate

Un altro posto in cui si presentano i gradi di libertà è nella formula per la deviazione standard. Questo evento non è così palese, ma possiamo vederlo se sappiamo dove cercare. Per trovare una deviazione standard stiamo cercando la deviazione "media" dalla media. Tuttavia, dopo aver sottratto la media da ciascun valore di dati e aver squadrato le differenze, finiamo per dividerci n-1 piuttosto che n come potremmo aspettarci.

La presenza del n-1 viene dal numero di gradi di libertà. Dal momento che il n nella formula vengono utilizzati i valori dei dati e la media del campione n-1 gradi di libertà.

Tecniche statistiche più avanzate utilizzano metodi più complicati per contare i gradi di libertà. Nel calcolare la statistica test per due mezzi con campioni indipendenti di n₁ e n₂ elementi, il numero di gradi di libertà ha una formula piuttosto complicata. Può essere stimato utilizzando il più piccolo di n₁-1 e n₂-1

Un altro esempio di un modo diverso di contare i gradi di libertà viene fornito con un F test. Nel condurre un F test che abbiamo K campioni ciascuno di dimensioni n-il grado di libertà nel numeratore è K-1 e nel denominatore è K(n-1).