Valore atteso di una distribuzione binomiale

Le distribuzioni binomiali sono un'importante classe di distribuzioni di probabilità discrete. Questi tipi di distribuzioni sono una serie di n prove indipendenti di Bernoulli, ognuna delle quali ha una probabilità costante p di successo. Come con qualsiasi distribuzione di probabilità, vorremmo sapere qual è la sua media o il suo centro. Per questo stiamo davvero chiedendo: "Qual è il valore atteso della distribuzione binomiale?"

Intuition vs. Proof

Se pensiamo attentamente a una distribuzione binomiale, non è difficile determinare il valore atteso di questo tipo di distribuzione di probabilità np. Per alcuni brevi esempi di ciò, considerare quanto segue:

• Se lanciamo 100 monete e X è il numero di teste, il valore atteso di X è 50 = (1/2) 100.
• Se stiamo eseguendo un test a scelta multipla con 20 domande e ogni domanda ha quattro scelte (solo una delle quali è corretta), indovinare in modo casuale significherebbe che ci aspetteremmo solo di ottenere (1/4) 20 = 5 domande corrette.

In entrambi questi esempi lo vediamo E [X] = n p. Due casi sono appena sufficienti per giungere a una conclusione. Sebbene l'intuizione sia un buon strumento per guidarci, non è sufficiente formare un argomento matematico e dimostrare che qualcosa è vero. Come possiamo dimostrare definitivamente che il valore atteso di questa distribuzione è davvero np?

Dalla definizione del valore atteso e della funzione della massa di probabilità per la distribuzione binomiale di n prove di probabilità di successo p, possiamo dimostrare che la nostra intuizione coincide con i frutti del rigore matematico. Dobbiamo essere piuttosto attenti nel nostro lavoro e agili nelle nostre manipolazioni del coefficiente binomiale che è dato dalla formula per le combinazioni.

Iniziamo utilizzando la formula:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^X(1-p)^{n - x}.

Poiché ogni termine della somma viene moltiplicato per X, il valore del termine corrispondente a x = 0 sarà 0, e quindi possiamo effettivamente scrivere:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Manipolando i fattoriali coinvolti nell'espressione per C (n, x) possiamo riscrivere

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Questo è vero perché:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Ne consegue che:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Valutiamo il n e uno p dall'espressione sopra: