Come classificare la curtosi delle distribuzioni

Le distribuzioni di dati e le probabilità non hanno tutte la stessa forma. Alcuni sono asimmetrici e inclinati a sinistra o a destra. Altre distribuzioni sono bimodali e hanno due picchi. Un'altra caratteristica da considerare quando si parla di una distribuzione è la forma delle code della distribuzione all'estrema sinistra e all'estrema destra. La curtosi è la misura dello spessore o della pesantezza delle code di una distribuzione. La curtosi di una distribuzione rientra in una delle tre categorie di classificazione:

• Mesokurtic
• leptokurtic
• platykurtic

Considereremo ciascuna di queste classificazioni a turno. Il nostro esame di queste categorie non sarà così preciso come potremmo essere se usassimo la definizione matematica tecnica di curtosi.

Mesokurtic

La curtosi è in genere misurata rispetto alla distribuzione normale. Una distribuzione che ha le code modellate all'incirca allo stesso modo di qualsiasi distribuzione normale, non solo la distribuzione normale standard, si dice mesokurtic. La curtosi di una distribuzione mesokurtic non è né alta né bassa, piuttosto è considerata una base per le altre due classificazioni.

Oltre alle normali distribuzioni, distribuzioni binomiali per le quali p è vicino a 1/2 sono considerati mesokurtic.

leptokurtic

Una distribuzione leptokurtic è quella che ha una curtosi maggiore di una distribuzione mesokurtic. Le distribuzioni leptokurtiche sono talvolta identificate da picchi sottili e alti. Le code di queste distribuzioni, sia a destra che a sinistra, sono spesse e pesanti. Le distribuzioni leptokurtiche sono chiamate con il prefisso "lepto" che significa "magro".

Ci sono molti esempi di distribuzioni leptokurtic. Una delle distribuzioni leptokurtic più note è la distribuzione t di Student.

platykurtic

La terza classificazione per curtosi è platicurtica. Le distribuzioni platykurtic sono quelle che hanno code sottili. Molte volte possiedono un picco inferiore a una distribuzione mesokurtic. Il nome di questi tipi di distribuzioni deriva dal significato del prefisso "platy" che significa "ampio".

Tutte le distribuzioni uniformi sono platicattiche. Inoltre, la distribuzione di probabilità discreta da un singolo lancio di una moneta è platicattica.

Calcolo della curtosi

Queste classificazioni della curtosi sono ancora in qualche modo soggettive e qualitative. Mentre potremmo essere in grado di vedere che una distribuzione ha code più spesse rispetto a una distribuzione normale, cosa succede se non abbiamo il grafico di una distribuzione normale con cui confrontare? E se volessimo dire che una distribuzione è più leptocurta di un'altra?

Per rispondere a questo tipo di domande abbiamo bisogno non solo di una descrizione qualitativa della curtosi, ma di una misura quantitativa. La formula utilizzata è μ₄/ σ⁴ dove μ₄ è il quarto momento di Pearson sulla media e sigma è la deviazione standard.

Eccessiva Kurtosi

Ora che abbiamo un modo per calcolare la curtosi, possiamo confrontare i valori ottenuti anziché le forme. La distribuzione normale ha una curtosi di tre. Questo ora diventa la nostra base per le distribuzioni mesokurtic. Una distribuzione con kurtosi maggiore di tre è leptokurtic e una distribuzione con kurtosi inferiore a tre è platyktic.

Poiché trattiamo una distribuzione mesokurtic come base per le nostre altre distribuzioni, possiamo sottrarre tre dal nostro calcolo standard per la curtosi. La formula μ₄/ σ⁴ - 3 è la formula per eccesso di curtosi. Potremmo quindi classificare una distribuzione dalla sua eccesso di curtosi:

• Le distribuzioni mesokurtic hanno un eccesso di curtosi pari a zero.
• Le distribuzioni platicurtic hanno una curtosi in eccesso negativa.
• Le distribuzioni leptokurtiche hanno una curtosi in eccesso positiva.