Come dimostrare la regola del complemento nella probabilità

Numerosi teoremi della probabilità possono essere dedotti dagli assiomi della probabilità. Questi teoremi possono essere applicati per calcolare le probabilità che potremmo desiderare di conoscere. Uno di questi risultati è noto come regola del complemento. Questa affermazione ci consente di calcolare la probabilità di un evento UN conoscendo la probabilità del complemento UN^C. Dopo aver dichiarato la regola del complemento, vedremo come può essere dimostrato questo risultato.

La regola del complemento

Il complemento dell'evento UN è indicato da UN^C. Il complemento di UN è l'insieme di tutti gli elementi dell'insieme universale, o spazio campione S, che non sono elementi dell'insieme UN.

La regola del complemento è espressa dalla seguente equazione:

P (UN^C) = 1 - P (UN)

Qui vediamo che la probabilità di un evento e la probabilità del suo complemento devono essere pari a 1.

Prova della regola del complemento

Per dimostrare la regola del complemento, iniziamo con gli assiomi della probabilità. Queste dichiarazioni sono assunte senza prove. Vedremo che possono essere sistematicamente utilizzati per dimostrare la nostra affermazione relativa alla probabilità del complemento di un evento.

• Il primo assioma della probabilità è che la probabilità di qualsiasi evento sia un numero reale non negativo.
• Il secondo assioma della probabilità è che la probabilità dell'intero spazio del campione S è uno. Simbolicamente scriviamo P (S) = 1.
• Il terzo assioma della probabilità afferma che If UN e B si escludono a vicenda (nel senso che hanno un'intersezione vuota), quindi dichiariamo la probabilità dell'unione di questi eventi come P (UN U B ) = P (UN) + P (B).

Per la regola del complemento, non avremo bisogno di usare il primo assioma nell'elenco sopra.

Per dimostrare la nostra affermazione consideriamo gli eventi UNe UN^C. Dalla teoria degli insiemi, sappiamo che questi due insiemi hanno un'intersezione vuota. Questo perché un elemento non può essere contemporaneamente in entrambi UN e non dentro UN. Poiché esiste un'intersezione vuota, questi due set si escludono a vicenda.

L'unione dei due eventi UN e UN^C sono anche importanti. Questi costituiscono eventi esaustivi, il che significa che l'unione di questi eventi è tutto lo spazio del campione S.

Questi fatti, combinati con gli assiomi ci danno l'equazione

1 = P (S) = P (UN U UN^C) = P (UN) + P (UN^C) .

La prima uguaglianza è dovuta al secondo assioma di probabilità. La seconda uguaglianza è dovuta agli eventi UN e UN^C sono esaustivi. La terza uguaglianza è dovuta al terzo assioma di probabilità.

L'equazione di cui sopra può essere riorganizzata nella forma sopra indicata. Tutto quello che dobbiamo fare è sottrarre la probabilità di UN da entrambi i lati dell'equazione. così

1 = P (UN) + P (UN^C)

diventa l'equazione

P (UN^C) = 1 - P (UN).

Naturalmente, potremmo anche esprimere la regola affermando che:

P (UN) = 1 - P (UN^C).

Tutte e tre queste equazioni sono modi equivalenti di dire la stessa cosa. Da questa prova vediamo come solo due assiomi e una certa teoria degli insiemi facciano molto per aiutarci a dimostrare nuove affermazioni sulla probabilità.