Come dimostrare le leggi di De Morgan

In statistica matematica e probabilità è importante avere familiarità con la teoria degli insiemi. Le operazioni elementari della teoria degli insiemi hanno connessioni con determinate regole nel calcolo delle probabilità. Le interazioni di queste operazioni elementari di unione, intersezione e complemento sono spiegate da due affermazioni note come De Morgan's Laws. Dopo aver dichiarato queste leggi, vedremo come dimostrarle.

Dichiarazione delle leggi di De Morgan

Le leggi di De Morgan riguardano l'interazione tra unione, intersezione e complemento. Richiama questo:

• L'intersezione degli insiemi UN e B è costituito da tutti gli elementi comuni a entrambi UN e B. L'intersezione è indicata da UN ∩ B.
• L'unione dei set UN e B è costituito da tutti gli elementi che in entrambi UN o B, compresi gli elementi in entrambi i set. L'intersezione è indicata da A U B.
• Il complemento del set UN è costituito da tutti gli elementi che non sono elementi di UN. Questo complemento è indicato con A^C.

Ora che abbiamo ricordato queste operazioni elementari, vedremo la dichiarazione delle Leggi di De Morgan. Per ogni coppia di set UN e B

1. (UN ∩ B)^C = UN^C U B^C.
2. (UN U B)^C = UN^C ∩ B^C.

Cenni sulla strategia di prova

Prima di saltare alla prova penseremo a come provare le affermazioni sopra. Stiamo cercando di dimostrare che due insiemi sono uguali tra loro. Il modo in cui ciò avviene in una prova matematica è mediante la procedura della doppia inclusione. Lo schema di questo metodo di prova è:

1. Mostra che l'insieme a sinistra del nostro segno di uguale è un sottoinsieme dell'insieme a destra.
2. Ripeti il ​​processo nella direzione opposta, mostrando che l'insieme a destra è un sottoinsieme dell'insieme a sinistra.
3. Questi due passaggi ci consentono di dire che gli insiemi sono in effetti uguali tra loro. Sono costituiti da tutti gli stessi elementi.

Prova di una delle leggi

Vedremo come provare la prima delle leggi di De Morgan sopra. Iniziamo mostrando che (UN ∩ B)^C è un sottoinsieme di UN^C U B^C.

1. Prima supponiamo che X è un elemento di (UN ∩ B)^C.
2. Ciò significa che X non è un elemento di (UN ∩ B).
3. Poiché l'intersezione è l'insieme di tutti gli elementi comuni ad entrambi UN e B, il passaggio precedente significa che X non può essere un elemento di entrambi UN e B.
4. Ciò significa che X deve essere un elemento di almeno uno degli insiemi UN^C o B^C.
5. Per definizione questo significa che X è un elemento di UN^C U B^C
6. Abbiamo mostrato l'inclusione del sottoinsieme desiderata.

La nostra prova è ora a metà strada. Per completarlo mostriamo l'inclusione del sottoinsieme opposto. Più specificamente dobbiamo mostrare UN^C U B^C è un sottoinsieme di (UN ∩ B)^C.

1. Iniziamo con un elemento X nel set UN^C U B^C.
2. Ciò significa che X è un elemento di UN^C o quello X è un elemento di B^C.
3. così X non è un elemento di almeno uno degli insiemi UN o B.
4. Così X non può essere un elemento di entrambi UN e B. Ciò significa che X è un elemento di (UN ∩ B)^C.
5. Abbiamo mostrato l'inclusione del sottoinsieme desiderata.

Prova dell'altra legge

La prova dell'altra affermazione è molto simile alla prova che abbiamo delineato sopra. Tutto ciò che deve essere fatto è mostrare un'inclusione di un sottoinsieme di insiemi su entrambi i lati del segno di uguale.