Come usare If and Only If in matematica

Quando si legge su statistiche e matematica, una frase che appare regolarmente è "se e solo se". Questa frase appare in particolare all'interno di dichiarazioni di teoremi matematici o prove. Ma cosa significa esattamente questa affermazione?

Cosa significa se e solo se significa in matematica?

Per capire "se e solo se", dobbiamo prima sapere cosa si intende per affermazione condizionale. Un'istruzione condizionale è una formata da altre due dichiarazioni, che indicheremo con P e Q. Per formare un'istruzione condizionale, potremmo dire "se P allora Q."

I seguenti sono esempi di questo tipo di affermazione:

• Se fuori piove, porto con me l'ombrello durante la passeggiata.
• Se studi duramente, guadagnerai una A.
• Se n è divisibile per 4, quindi n è divisibile per 2.

Converse e condizionali

Altre tre affermazioni sono correlate a qualsiasi affermazione condizionale. Questi sono chiamati il ​​contrario, il contrario e il contrapositivo. Formiamo queste affermazioni cambiando l'ordine di P e Q dal condizionale originale e inserendo la parola "non" per l'inverso e il contrappeso.

Dobbiamo solo considerare il contrario qui. Questa affermazione si ottiene dall'originale dicendo "se Q poi P." Supponiamo di iniziare con il condizionale "se fuori piove, allora porto l'ombrello con me nel mio cammino". Il contrario di questa affermazione è "se io porta il mio ombrello con me sulla mia passeggiata, poi fuori piove. "

Dobbiamo solo considerare questo esempio per renderci conto che il condizionale originale non è logicamente lo stesso del suo contrario. La confusione di questi due moduli di dichiarazione è nota come errore inverso. Si potrebbe portare un ombrello a fare una passeggiata anche se potrebbe non piovere fuori.

Per un altro esempio, consideriamo il condizionale "Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2." Questa affermazione è chiaramente vera. Tuttavia, il contrario di questa affermazione "Se un numero è divisibile per 2, allora è divisibile per 4" è falso. Dobbiamo solo guardare un numero come 6. Anche se 2 divide questo numero, 4 no. Mentre l'affermazione originale è vera, non è vero il contrario.

bicondizionale

Questo ci porta a un'affermazione bicondizionale, che è anche conosciuta come un'affermazione "se e solo se". Alcune dichiarazioni condizionali hanno anche conversazioni vere. In questo caso, possiamo formare ciò che è noto come una dichiarazione bicondizionale. Una dichiarazione bicondizionale ha la forma:

"Se P quindi Q, e se Q quindi P."

Poiché questa costruzione è alquanto imbarazzante, specialmente quando P e Q sono le loro stesse affermazioni logiche, semplifichiamo l'affermazione di una bicondizionale usando la frase "se e solo se". Invece di dire "se P allora Q, e se Q poi P" invece diciamo "P se e solo se Q." Questa costruzione elimina una certa ridondanza.

Esempio di statistiche

Per un esempio della frase "se e solo se" che coinvolge le statistiche, non guardare oltre un fatto riguardante la deviazione standard del campione. La deviazione standard del campione di un set di dati è uguale a zero se e solo se tutti i valori dei dati sono identici.

Dividiamo questa affermazione bicondizionale in condizionale e viceversa. Quindi vediamo che questa affermazione significa entrambi i seguenti:

• Se la deviazione standard è zero, tutti i valori dei dati sono identici.
• Se tutti i valori dei dati sono identici, la deviazione standard è uguale a zero.

Prova di Bicondizionale

Se stiamo provando a dimostrare un bicondizionato, la maggior parte delle volte finiamo per dividerlo. Questo rende la nostra prova composta da due parti. Una parte che dimostriamo è "if P then Q." L'altra parte della dimostrazione di cui abbiamo bisogno è "if Q then P."

Condizioni necessarie e sufficienti

Le dichiarazioni bicondizionali sono correlate a condizioni che sono sia necessarie che sufficienti. Considera l'affermazione "se oggi è Pasqua, allora domani è lunedì". Oggi essendo Pasqua è sufficiente che domani sia lunedì, tuttavia non è necessario. Oggi potrebbe essere una domenica diversa da Pasqua, e domani sarebbe ancora lunedì.

Abbreviazione

La frase "se e solo se" è usata abbastanza comunemente nella scrittura matematica da avere la sua abbreviazione. A volte la condizione bicondizionale nella frase "se e solo se" è abbreviata semplicemente in "iff". Quindi la frase "P if e only if Q" diventa "P iff Q."