Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

È importante sapere come calcolare la probabilità di un evento. Alcuni tipi di eventi in probabilità sono chiamati indipendenti. Quando abbiamo una coppia di eventi indipendenti, a volte potremmo chiederci: "Qual è la probabilità che si verifichino entrambi questi eventi?" In questa situazione, possiamo semplicemente moltiplicare insieme le nostre due probabilità.

Vedremo come utilizzare la regola di moltiplicazione per eventi indipendenti. Dopo aver esaminato le basi, vedremo i dettagli di un paio di calcoli.

Definizione di eventi indipendenti

Iniziamo con una definizione di eventi indipendenti. In probabilità, due eventi sono indipendenti se l'esito di un evento non influenza l'esito del secondo evento.

Un buon esempio di una coppia di eventi indipendenti è quando tiriamo un dado e poi lanciamo una moneta. Il numero mostrato sul dado non ha alcun effetto sulla moneta lanciata. Pertanto questi due eventi sono indipendenti.

Un esempio di un paio di eventi che non sono indipendenti sarebbe il genere di ogni bambino in una serie di gemelli. Se i gemelli sono identici, entrambi saranno maschi o entrambi sarebbero femmine.

Dichiarazione della regola di moltiplicazione

La regola di moltiplicazione per eventi indipendenti mette in relazione le probabilità di due eventi con la probabilità che si verifichino entrambi. Per utilizzare la regola, dobbiamo avere le probabilità di ciascuno degli eventi indipendenti. Dati questi eventi, la regola di moltiplicazione indica la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi moltiplicando le probabilità di ciascun evento.

Formula per la regola della moltiplicazione

La regola di moltiplicazione è molto più facile da affermare e con cui lavorare quando usiamo la notazione matematica.

Indica eventi UN e B e le probabilità di ciascuno di PAPÀ) e P (B). Se UN e B sono eventi indipendenti, quindi:

PAPÀ e B) = P (A) X P (B)

Alcune versioni di questa formula usano ancora più simboli. Invece della parola "e" possiamo invece usare il simbolo dell'intersezione: ∩. A volte questa formula viene utilizzata come definizione di eventi indipendenti. Gli eventi sono indipendenti se e solo se PAPÀ e B) = P (A) X P (B).

Esempio n. 1 dell'uso della regola di moltiplicazione

Vedremo come utilizzare la regola di moltiplicazione guardando alcuni esempi. Supponiamo innanzitutto che lanciamo un dado a sei facce e poi lanciamo una moneta. Questi due eventi sono indipendenti. La probabilità di ottenere un 1 è 1/6. La probabilità di una testa è 1/2. La probabilità di ottenere un 1 e ottenere una testa è 1/6 x 1/2 = 1/12.

Se fossimo propensi a essere scettici su questo risultato, questo esempio è abbastanza piccolo da poter elencare tutti i risultati: (1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T). Vediamo che ci sono dodici risultati, tutti ugualmente probabili. Pertanto la probabilità di 1 e una testa è 1/12. La regola di moltiplicazione era molto più efficiente perché non ci richiedeva di elencare l'intero spazio di esempio.

Esempio n. 2 dell'uso della regola di moltiplicazione

Per il secondo esempio, supponiamo che pesciamo una carta da un mazzo standard, sostituiamo questa carta, mescoliamo il mazzo e quindi pesciamo di nuovo. Chiediamo quindi qual è la probabilità che entrambe le carte siano re. Poiché abbiamo disegnato con la sostituzione, questi eventi sono indipendenti e si applica la regola di moltiplicazione. 

La probabilità di pescare un re per la prima carta è 1/13. La probabilità di pescare un re sul secondo pareggio è 1/13. La ragione di ciò è che stiamo sostituendo il re che abbiamo disegnato dalla prima volta. Poiché questi eventi sono indipendenti, usiamo la regola di moltiplicazione per vedere che la probabilità di disegnare due re è data dal seguente prodotto 1/13 x 1/13 = 1/169.