Probabilità e dadi bugiardo

Molti giochi d'azzardo possono essere analizzati usando la matematica della probabilità. In questo articolo, esamineremo vari aspetti del gioco chiamato Dadi bugiarde. Dopo aver descritto questo gioco, calcoleremo le probabilità ad esso correlate.

Una breve descrizione dei dadi del bugiardo

Il gioco di Liar's Dice è in realtà una famiglia di giochi che coinvolge bluff e inganno. Esistono diverse varianti di questo gioco, che ha diversi nomi come Pirate's Dice, Deception e Dudo. Una versione di questo gioco è stata descritta nel film Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

Nella versione del gioco che esamineremo, ogni giocatore ha una coppa e un set dello stesso numero di dadi. I dadi sono dadi standard a sei facce numerati da uno a sei. Tutti tirano i loro dadi, mantenendoli coperti dalla tazza. Al momento opportuno, un giocatore guarda la sua serie di dadi, tenendoli nascosti a tutti gli altri. Il gioco è progettato in modo tale che ogni giocatore abbia una perfetta conoscenza del proprio set di dadi, ma non abbia conoscenza degli altri dadi che sono stati lanciati.

Dopo che tutti hanno avuto l'opportunità di guardare i loro dadi lanciati, le offerte iniziano. Ad ogni turno un giocatore ha due scelte: fare un'offerta più alta o chiamare una bugia l'offerta precedente. Le offerte possono essere aumentate offrendo un valore di dado maggiore da uno a sei, oppure offrendo un numero maggiore dello stesso valore di dado.

Ad esempio, un'offerta di "Tre due" potrebbe essere aumentata affermando "Quattro due". Potrebbe anche essere aumentata dicendo "Tre tre". In generale, né il numero di dadi né i valori dei dadi possono diminuire.

Poiché la maggior parte dei dadi è nascosta alla vista, è importante sapere come calcolare alcune probabilità. Sapendo questo è più facile vedere quali offerte sono verosimilmente vere e quali sono probabilmente bugie.

Valore atteso

La prima considerazione è di chiedere: "Quanti dadi dello stesso tipo ci aspetteremmo?" Ad esempio, se lanciamo cinque dadi, quanti di questi ci aspetteremmo di essere due? La risposta a questa domanda usa l'idea del valore atteso.

Il valore atteso di una variabile casuale è la probabilità di un valore particolare, moltiplicata per questo valore.

La probabilità che il primo dado sia un due è 1/6. Dato che i dadi sono indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità che uno di essi sia due è 1/6. Ciò significa che il numero previsto di due lanciati è 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Naturalmente, non c'è niente di speciale nel risultato di due. Né c'è qualcosa di speciale nel numero di dadi che abbiamo considerato. Se rotolassimo n dadi, quindi il numero previsto di uno dei sei possibili esiti è n/ 6. Questo numero è utile da sapere perché ci fornisce una base da utilizzare per mettere in discussione le offerte fatte da altri.

Ad esempio, se stiamo giocando i dadi del bugiardo con sei dadi, il valore atteso di uno dei valori da 1 a 6 è 6/6 = 1. Ciò significa che dovremmo essere scettici se qualcuno offre più di uno di qualsiasi valore. A lungo termine, calcoleremmo una media di ciascuno dei possibili valori.

Esempio di rotolamento esattamente

Supponiamo che lanciamo cinque dadi e vogliamo trovare la probabilità di tirare due tre. La probabilità che un dado sia un tre è 1/6. La probabilità che un dado non sia tre è 5/6. I tiri di questi dadi sono eventi indipendenti, quindi moltiplichiamo le probabilità insieme usando la regola di moltiplicazione.

La probabilità che i primi due dadi siano tre e gli altri dadi non siano tre è data dal seguente prodotto:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

I primi due dadi essendo tre sono solo una possibilità. I dadi a tre potrebbero essere due qualsiasi dei cinque dadi che lanciamo. Indichiamo un dado che non è un tre per un *. I seguenti sono possibili modi per avere due tre su cinque tiri: