Probabilità per tirare tre dadi

I dadi forniscono grandi illustrazioni per concetti in probabilità. I dadi più comunemente usati sono i cubi con sei facce. Qui vedremo come calcolare le probabilità di tirare tre dadi standard. È un problema relativamente standard calcolare la probabilità della somma ottenuta lanciando due dadi. Ci sono un totale di 36 tiri diversi con due dadi, con qualsiasi somma da 2 a 12 possibili. Come cambia il problema se aggiungiamo altri dadi?

Possibili risultati e somme

Proprio come un dado ha sei esiti e due dadi ne hanno 6² = 36 risultati, l'esperimento di probabilità del lancio di tre dadi ha 6³ = 216 risultati. Questa idea si generalizza ulteriormente per più dadi. Se rotoliamo n i dadi poi ci sono 6ⁿ risultati.

Possiamo anche considerare le possibili somme ottenute dal lancio di diversi dadi. La somma più piccola possibile si verifica quando tutti i dadi sono i più piccoli, o uno ciascuno. Questo dà una somma di tre quando tiriamo tre dadi. Il numero più grande su un dado è sei, il che significa che la somma più grande possibile si verifica quando tutti e tre i dadi sono sei. La somma di questa situazione è 18.

quando n i dadi vengono lanciati, la somma minima possibile è n e la somma massima possibile è 6n.

C'è un modo possibile in cui tre dadi possono totalizzare 3
3 modi per 4
6 per 5
10 per 6
15 per 7
21 per 8
25 per 9
27 per 10
27 per 11
25 per 12
21 per 13
15 per 14
10 per 15
6 per 16
3 per 17
1 per 18

Formazione di somme

Come discusso sopra, per tre dadi le possibili somme includono ogni numero da tre a 18. Le probabilità possono essere calcolate usando strategie di conteggio e riconoscendo che stiamo cercando modi per suddividere un numero esattamente in tre numeri interi. Ad esempio, l'unico modo per ottenere una somma di tre è 3 = 1 + 1 + 1. Poiché ogni dado è indipendente dagli altri, una somma come quattro può essere ottenuta in tre modi diversi:

1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1

Ulteriori argomenti di conteggio possono essere usati per trovare il numero di modi per formare le altre somme. Seguono le partizioni per ogni somma:

3 = 1 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
17 = 6 + 6 + 5
18 = 6 + 6 + 6

Quando tre numeri diversi formano la partizione, come 7 = 1 + 2 + 4, ce ne sono 3! (3x2x1) modi diversi di permutare questi numeri. Quindi questo conterebbe ai tre risultati nello spazio campione. Quando due numeri diversi formano la partizione, allora ci sono tre modi diversi di permutare questi numeri.

Probabilità specifiche

Dividiamo il numero totale di modi per ottenere ogni somma per il numero totale di risultati nello spazio campione, o 216. I risultati sono:

Probabilità di una somma di 3: 1/216 = 0,5%
Probabilità di una somma di 4: 3/216 = 1,4%
Probabilità di una somma di 5: 6/216 = 2,8%
Probabilità di una somma di 6: 10/216 = 4.6%
Probabilità di una somma di 7: 15/216 = 7,0%
Probabilità di una somma di 8: 21/216 = 9,7%
Probabilità di una somma di 9: 25/216 = 11,6%
Probabilità di una somma di 10: 27/216 = 12,5%
Probabilità di una somma di 11: 27/216 = 12,5%
Probabilità di una somma di 12: 25/216 = 11,6%
Probabilità di una somma di 13: 21/216 = 9,7%
Probabilità di una somma di 14: 15/216 = 7,0%
Probabilità di una somma di 15: 10/216 = 4.6%
Probabilità di una somma di 16: 6/216 = 2,8%
Probabilità di una somma di 17: 3/216 = 1,4%
Probabilità di una somma di 18: 1/216 = 0,5%

Come si può vedere, i valori estremi di 3 e 18 sono meno probabili. Le somme che sono esattamente nel mezzo sono le più probabili. Ciò corrisponde a quanto osservato quando venivano lanciati due dadi.

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