Probabilità di una piccola scala in Yahtzee in un singolo tiro

Yahtzee è un gioco di dadi che utilizza cinque dadi a sei facce standard. Ad ogni turno, i giocatori ricevono tre tiri per ottenere diversi obiettivi. Dopo ogni lancio, un giocatore può decidere quali dei dadi (se presenti) devono essere mantenuti e quali devono essere rilanciati. Gli obiettivi includono una varietà di diversi tipi di combinazioni, molte delle quali sono prese dal poker. Ogni diverso tipo di combinazione vale un diverso numero di punti.

Due dei tipi di combinazioni che i giocatori devono tirare sono chiamati rettilinei: una scala piccola e una scala alta. Come i rettilinei del poker, queste combinazioni consistono in dadi sequenziali. Piccoli rettilinei impiegano quattro dei cinque dadi e grandi rettilinei usano tutti e cinque i dadi. A causa della casualità del lancio di dadi, la probabilità può essere utilizzata per analizzare la probabilità che sia di tirare una piccola scala in un singolo tiro.

ipotesi

Partiamo dal presupposto che i dadi utilizzati sono equi e indipendenti l'uno dall'altro. Quindi esiste uno spazio campione uniforme costituito da tutti i possibili tiri dei cinque dadi. Sebbene Yahtzee consenta tre tiri, per semplicità considereremo solo il caso in cui otteniamo una piccola scala in un singolo tiro.

Spazio campione

Poiché stiamo lavorando con uno spazio campione uniforme, il calcolo della nostra probabilità diventa un calcolo di un paio di problemi di conteggio. La probabilità di una piccola scala è il numero di modi per tirare una piccola scala, diviso per il numero di risultati nello spazio campione.

È molto facile contare il numero di risultati nello spazio campione. Stiamo tirando cinque dadi e ciascuno di questi dadi può avere uno dei sei risultati diversi. Un'applicazione di base del principio di moltiplicazione ci dice che lo spazio del campione ha 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 risultati. Questo numero sarà il denominatore delle frazioni che usiamo per la nostra probabilità.

Numero di rettilinei

Successivamente, dobbiamo sapere quanti modi ci sono per tirare una piccola scala. Questo è più difficile che calcolare la dimensione dello spazio del campione. Iniziamo contando quanti rettilinei sono possibili.

Una scala piccola è più facile da tirare rispetto a una scala grande, tuttavia, è più difficile contare il numero di modi per tirare questo tipo di scala. Una piccola scala è composta esattamente da quattro numeri sequenziali. Poiché ci sono sei diverse facce del dado, ci sono tre possibili piccoli rettilinei: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5 e 3, 4, 5, 6. La difficoltà sorge nel considerare cosa succede con il quinto dado. In ciascuno di questi casi, il quinto dado deve essere un numero che non crea una scala alta. Ad esempio, se i primi quattro dadi fossero 1, 2, 3 e 4, il quinto dado potrebbe essere diverso da 5. Se il quinto dado fosse un 5, allora avremmo una scala grande anziché una scala piccola.

Ciò significa che ci sono cinque possibili tiri che danno il piccolo rettilineo 1, 2, 3, 4, cinque possibili tiri che danno il piccolo rettilineo 3, 4, 5, 6 e quattro possibili tiri che danno il piccolo rettilineo 2, 3, 4, 5. Quest'ultimo caso è diverso perché tirare un 1 o un 6 per il quinto dado cambierà 2, 3, 4, 5 in una scala grande. Ciò significa che ci sono 14 modi diversi in cui cinque dadi possono darci una piccola scala.

Ora determiniamo il diverso numero di modi per tirare un particolare set di dadi che ci danno una scala. Dato che dobbiamo solo sapere quanti modi ci sono per farlo, possiamo usare alcune tecniche di conteggio di base.

Dei 14 modi distinti per ottenere piccoli rettilinei, solo due di questi 1,2,3,4,6 e 1,3,4,5,6 sono insiemi con elementi distinti. Ce ne sono 5! = 120 modi per rotolare ciascuno per un totale di 2 x 5! = 240 rettilinei piccoli.

Gli altri 12 modi per avere una piccola scala sono tecnicamente multiset in quanto contengono tutti un elemento ripetuto. Per un particolare multiset, come [1,1,2,3,4], conteremo il numero di modi diversi per farlo. Pensa ai dadi come a cinque posizioni consecutive:

• Ci sono C (5,2) = 10 modi per posizionare i due elementi ripetuti tra i cinque dadi.
• Ce ne sono 3! = 6 modi per disporre i tre elementi distinti.

Secondo il principio della moltiplicazione, ci sono 6 x 10 = 60 modi diversi di tirare i dadi 1,1,2,3,4 in un singolo tiro.

Ci sono 60 modi per tirare una scala così piccola con questo particolare quinto dado. Poiché ci sono 12 multiset che danno un diverso elenco di cinque dadi, ci sono 60 x 12 = 720 modi per tirare una piccola scala in cui due dadi corrispondono.

In totale ci sono 2 x 5! + 12 x 60 = 960 modi per tirare una piccola scala.