Probabilità dell'Unione di 3 o più set

Quando due eventi si escludono a vicenda, la probabilità della loro unione può essere calcolata con la regola di addizione. Sappiamo che per tirare un dado, tirare un numero maggiore di quattro o un numero inferiore a tre sono eventi che si escludono a vicenda, senza nulla in comune. Quindi, per trovare la probabilità di questo evento, aggiungiamo semplicemente la probabilità che tiriamo un numero maggiore di quattro alla probabilità che tiriamo un numero inferiore a tre. Nei simboli, abbiamo il seguente, dove la capitale P indica "probabilità di":

P(maggiore di quattro o inferiore a tre) = P(maggiore di quattro) + P(meno di tre) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Se gli eventi lo sono non che si escludono a vicenda, quindi non aggiungiamo semplicemente insieme le probabilità degli eventi, ma dobbiamo sottrarre la probabilità dell'intersezione degli eventi. Dati gli eventi UN e B:

P(UN U B) = P(UN) + P(B) - P(UN ∩ B).

Qui spieghiamo la possibilità di contare due volte quegli elementi che si trovano in entrambi UN e B, ed è per questo che sottraggiamo la probabilità dell'intersezione.

La domanda che ne deriva è: “Perché fermarsi a due set? Qual è la probabilità dell'unione di più di due serie? "

Formula per unione di 3 set

Estenderemo le idee di cui sopra alla situazione in cui abbiamo tre serie, che indicheremo UN, B, e C. Non assumeremo nulla di più di questo, quindi esiste la possibilità che gli insiemi abbiano un'intersezione non vuota. L'obiettivo sarà quello di calcolare la probabilità dell'unione di questi tre set, o P (UN U B U C).

La discussione di cui sopra per due set è ancora valida. Possiamo sommare le probabilità dei singoli set UN, B, e C, ma nel fare ciò abbiamo contato due volte alcuni elementi.

Gli elementi nell'intersezione di UN e B sono stati contati due volte come prima, ma ora ci sono altri elementi che sono stati potenzialmente contati due volte. Gli elementi nell'intersezione di UN e C e nell'intersezione di B e C ora sono stati contati anche due volte. Quindi anche le probabilità di queste intersezioni devono essere sottratte.

Ma abbiamo sottratto troppo? C'è qualcosa di nuovo da considerare che non dovevamo preoccuparci quando c'erano solo due serie. Proprio come due insiemi possono avere un'intersezione, anche tutti e tre gli insiemi possono avere un'intersezione. Nel tentativo di assicurarci di non aver contato due volte nulla, non abbiamo contato tutti quegli elementi che compaiono in tutti e tre i set. Quindi la probabilità dell'intersezione di tutte e tre le serie deve essere aggiunta nuovamente.

Ecco la formula che deriva dalla discussione sopra:

P (UN U B U C) = P(UN) + P(B) + P(C) - P(UN ∩ B) - P(UN ∩ C) - P(B ∩ C) + P(UN ∩ B ∩ C)

Esempio con 2 dadi

Per vedere la formula per la probabilità dell'unione di tre set, supponiamo che stiamo giocando un gioco da tavolo che prevede il lancio di due dadi. A causa delle regole del gioco, dobbiamo vincere almeno uno dei dadi per essere due, tre o quattro. Qual è la probabilità di questo? Notiamo che stiamo cercando di calcolare la probabilità dell'unione di tre eventi: rotolare almeno uno due, rotolare almeno uno tre, rotolare almeno uno quattro. Quindi possiamo usare la formula sopra con le seguenti probabilità:

• La probabilità di ottenere un due è 11/36. Il numeratore qui deriva dal fatto che ci sono sei risultati in cui il primo dado è un due, sei in cui il secondo dado è un due, e un risultato in cui entrambi i dadi sono due. Questo ci dà 6 + 6 - 1 = 11.
• La probabilità di ottenere un tre è 11/36, per lo stesso motivo di cui sopra.
• La probabilità di ottenere un quattro è 11/36, per lo stesso motivo di cui sopra.
• La probabilità di ottenere un due e un tre è 2/36. Qui possiamo semplicemente elencare le possibilità, i due potrebbero venire prima o potrebbe venire seconda.
• La probabilità di ottenere un due e un quattro è 2/36, per lo stesso motivo che la probabilità di un due e un tre è 2/36.
• La probabilità di tirare un due, tre e un quattro è 0 perché stiamo solo lanciando due dadi e non c'è modo di ottenere tre numeri con due dadi.

Ora usiamo la formula e vediamo che la probabilità di ottenere almeno un due, un tre o un quattro è

11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.

Formula per probabilità di unione di 4 set

Il motivo per cui la formula per la probabilità dell'unione di quattro serie ha la sua forma è simile al ragionamento per la formula per tre serie. All'aumentare del numero di set, aumenta anche il numero di coppie, triple e così via. Con quattro serie ci sono sei intersezioni a coppie che devono essere sottratte, quattro intersezioni triple da aggiungere nuovamente e ora un'intersezione quadrupla che deve essere sottratta. Dato quattro set UN, B, C e D, la formula per l'unione di questi set è la seguente:

P (UN U B U C U D) = P(UN) + P(B) + P(C) +P(D) - P(UN ∩ B) - P(UN ∩ C) - P(UN ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(UN ∩ B ∩ C) + P(UN ∩ B ∩ D) + P(UN ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(UN ∩ B ∩ C ∩ D).

Modello generale

Potremmo scrivere formule (che sembrerebbero ancora più spaventose di quella sopra) per la probabilità dell'unione di più di quattro serie, ma dallo studio delle formule sopra dovremmo notare alcuni schemi. Questi schemi valgono per calcolare i sindacati di più di quattro serie. La probabilità dell'unione di un numero qualsiasi di insiemi può essere trovata come segue:

1. Aggiungi le probabilità dei singoli eventi.
2. Sottrai le probabilità delle intersezioni di ogni coppia di eventi.
3. Aggiungi le probabilità dell'intersezione di ogni serie di tre eventi.
4. Sottrai le probabilità dell'intersezione di ogni serie di quattro eventi.
5. Continua questo processo fino a quando l'ultima probabilità è la probabilità dell'intersezione del numero totale di insiemi con cui abbiamo iniziato.