La strategia LIPET per l'integrazione per parti

L'integrazione per parti è una delle molte tecniche di integrazione utilizzate nel calcolo. Questo metodo di integrazione può essere considerato come un modo per annullare la regola del prodotto. Una delle difficoltà nell'uso di questo metodo è determinare quale funzione nel nostro integrando dovrebbe essere abbinata a quale parte. L'acronimo LIPET può essere utilizzato per fornire alcune indicazioni su come suddividere le parti del nostro integrale.

Integrazione per parti

Richiama il metodo di integrazione per parti. La formula per questo metodo è:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Questa formula mostra a quale parte dell'integrando impostare uguale u, e quale parte impostare uguale a dv. LIPET è uno strumento che può aiutarci in questo sforzo.

Acronimo LIPET

La parola "LIPET" è un acronimo, nel senso che ogni lettera rappresenta una parola. In questo caso, le lettere rappresentano diversi tipi di funzioni. Queste identificazioni sono:

• L = funzione logaritmica
• I = Funzione trigonometrica inversa
• P = funzione polinomiale
• E = Funzione esponenziale
• T = funzione trigonometrica

Questo fornisce un elenco sistematico di cosa provare a impostare uguale u nell'integrazione per formula delle parti. Se esiste una funzione logaritmica, provare a impostarla su uguale u, con il resto dell'integrando uguale a dv. Se non ci sono funzioni trig logaritmiche o inverse, provare a impostare un polinomio uguale a u. Gli esempi seguenti aiutano a chiarire l'uso di questo acronimo.

Esempio 1

Considera ∫ X lnX dX. Poiché esiste una funzione logaritmica, impostare questa funzione su uguale u = ln X. Il resto dell'integrando è dv = X dX. Ne segue che du = dX / X e quello v = X²/ 2.

Questa conclusione potrebbe essere trovata per tentativi ed errori. L'altra opzione sarebbe stata quella di impostare u = X. Quindi du sarebbe molto facile da calcolare. Il problema sorge quando guardiamo dv = lnX. Integrare questa funzione per determinare v. Sfortunatamente, questo è un integrale molto difficile da calcolare.

Esempio 2

Considera l'integrale ∫ X cos X dX. Inizia con le prime due lettere in LIPET. Non ci sono funzioni logaritmiche o funzioni trigonometriche inverse. La lettera successiva in LIPET, una P, sta per polinomi. Dal momento che la funzione X è un polinomio, set u = X e dv = cos X.

Questa è la scelta corretta per l'integrazione per parti come du = dX e v = peccato X. L'integrale diventa:

X peccato X - ∫ peccato X dX.

Ottieni l'integrale attraverso una semplice integrazione del peccato X.

Quando LIPET non funziona

Ci sono alcuni casi in cui LIPET ha esito negativo, che richiede l'impostazione u uguale a una funzione diversa da quella prescritta da LIPET. Per questo motivo, questo acronimo dovrebbe essere pensato solo come un modo per organizzare i pensieri. L'acronimo LIPET ci fornisce anche una descrizione di una strategia da provare quando si utilizza l'integrazione per parti. Non è un teorema o un principio matematico che è sempre il modo di lavorare attraverso un problema di integrazione per parti.