La probabilità di un full in Yahtzee in un unico tiro

Il gioco di Yahtzee prevede l'uso di cinque dadi standard. Ad ogni turno, i giocatori ricevono tre tiri. Dopo ogni lancio, qualsiasi numero di dadi può essere mantenuto con l'obiettivo di ottenere combinazioni particolari di questi dadi. Ogni diverso tipo di combinazione vale un diverso numero di punti.

Uno di questi tipi di combinazioni è chiamato full house. Come un full nel gioco del poker, questa combinazione include tre di un certo numero insieme a una coppia di un numero diverso. Dato che Yahtzee prevede il lancio casuale di dadi, questo gioco può essere analizzato usando la probabilità per determinare con quale probabilità è ottenere un full in un singolo tiro.

ipotesi

Inizieremo affermando i nostri presupposti. Partiamo dal presupposto che i dadi utilizzati sono equi e indipendenti l'uno dall'altro. Ciò significa che abbiamo uno spazio campione uniforme costituito da tutti i possibili tiri dei cinque dadi. Sebbene il gioco di Yahtzee consenta tre tiri, considereremo solo il caso in cui otteniamo un full in un singolo tiro.

Spazio campione

Poiché stiamo lavorando con uno spazio campione uniforme, il calcolo della nostra probabilità diventa un calcolo di un paio di problemi di conteggio. La probabilità di un full è il numero di modi per ottenere un full, diviso per il numero di risultati nello spazio campione.

Il numero di risultati nello spazio campione è semplice. Poiché ci sono cinque dadi e ognuno di questi dadi può avere uno dei sei diversi risultati, il numero di risultati nello spazio campione è 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Numero di Full House

Quindi, calcoliamo il numero di modi per ottenere un full house. Questo è un problema più difficile. Per avere un full, abbiamo bisogno di tre dadi di un tipo, seguiti da una coppia di un diverso tipo di dadi. Divideremo questo problema in due parti:

• Qual è il numero di diversi tipi di full house che possono essere lanciati?
• Qual è il numero di modi in cui un determinato tipo di full house può essere lanciato?

Una volta che conosciamo il numero per ognuno di questi, possiamo moltiplicarli insieme per darci il numero totale di full house che possono essere fatti rotolare.

Iniziamo osservando il numero di diversi tipi di full house che possono essere fatti rotolare. Uno qualsiasi dei numeri 1, 2, 3, 4, 5 o 6 potrebbe essere usato per il tris. Ci sono cinque numeri rimanenti per la coppia. Quindi ci sono 6 x 5 = 30 diversi tipi di combinazioni full house che possono essere lanciate.

Ad esempio, potremmo avere 5, 5, 5, 2, 2 come un tipo di full house. Un altro tipo di full house sarebbe 4, 4, 4, 1, 1. Un altro ancora sarebbe 1, 1, 4, 4, 4, che è diverso dal full full precedente perché i ruoli di fours e one sono stati cambiati.

Ora determiniamo il diverso numero di modi per ottenere un particolare full house. Ad esempio, ciascuno dei seguenti ci dà lo stesso full house di tre quattro e due:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vediamo che ci sono almeno cinque modi per girare un intero full house. Ce ne sono altri? Anche se continuiamo a elencare altre possibilità, come facciamo a sapere che le abbiamo trovate tutte?

La chiave per rispondere a queste domande è rendersi conto che stiamo affrontando un problema di conteggio e determinare con quale tipo di problema di conteggio stiamo lavorando. Ci sono cinque posizioni e tre di queste devono essere riempite con quattro. L'ordine in cui posizioniamo i nostri quattro non ha importanza finché le posizioni esatte vengono riempite. Una volta determinata la posizione dei quattro, il posizionamento di quelli è automatico. Per questi motivi, dobbiamo considerare la combinazione di cinque posizioni assunte tre alla volta.

Usiamo la formula di combinazione per ottenere C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Ciò significa che ci sono 10 modi diversi per ottenere un determinato full.