La probabilità di una grande scala in Yahtzee in un singolo tiro

Yahtzee è un gioco di dadi che utilizza cinque dadi a sei facce standard. Ad ogni turno, i giocatori ricevono tre tiri per ottenere diversi obiettivi. Dopo ogni lancio, un giocatore può decidere quali dei dadi (se presenti) devono essere mantenuti e quali devono essere rilanciati. Gli obiettivi includono una varietà di diversi tipi di combinazioni, molte delle quali sono prese dal poker. Ogni diverso tipo di combinazione vale un diverso numero di punti.

Due dei tipi di combinazioni che i giocatori devono tirare sono chiamati rettilinei: una scala piccola e una scala alta. Come i rettilinei del poker, queste combinazioni consistono in dadi sequenziali. Piccoli rettilinei impiegano quattro dei cinque dadi e grandi rettilinei usano tutti e cinque i dadi. A causa della casualità del lancio di dadi, la probabilità può essere usata per analizzare la probabilità che sia di tirare una grande scala in un singolo tiro.

ipotesi

Partiamo dal presupposto che i dadi utilizzati sono equi e indipendenti l'uno dall'altro. Quindi esiste uno spazio campione uniforme costituito da tutti i possibili tiri dei cinque dadi. Sebbene Yahtzee consenta tre tiri, per semplicità considereremo solo il caso in cui otteniamo un grande rettilineo in un singolo tiro.

Spazio campione

Poiché stiamo lavorando con uno spazio campione uniforme, il calcolo della nostra probabilità diventa un calcolo di un paio di problemi di conteggio. La probabilità di una scala è il numero di modi per tirare una scala, diviso per il numero di risultati nello spazio campione.

È molto facile contare il numero di risultati nello spazio campione. Stiamo tirando cinque dadi e ciascuno di questi dadi può avere uno dei sei risultati diversi. Un'applicazione di base del principio di moltiplicazione ci dice che lo spazio del campione ha 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 risultati. Questo numero sarà il denominatore di tutte le frazioni che utilizziamo per le nostre probabilità.

Numero di rettilinei

Successivamente, dobbiamo sapere quanti modi ci sono per tirare una scala larga. Questo è più difficile che calcolare la dimensione dello spazio del campione. Il motivo per cui questo è più difficile è perché c'è più sottigliezza nel modo in cui contiamo.

Una scala grande è più difficile da tirare rispetto a una scala piccola, ma è più facile contare il numero di modi di tirare una scala grande rispetto al numero di modi di tirare una scala piccola. Questo tipo di scala è composto da cinque numeri sequenziali. Dato che ci sono solo sei numeri diversi sui dadi, ci sono solo due possibili rettilinei grandi: 1, 2, 3, 4, 5 e 2, 3, 4, 5, 6.

Ora determiniamo il diverso numero di modi per tirare un particolare set di dadi che ci danno una scala. Per una grande scala con i dadi 1, 2, 3, 4, 5 possiamo avere i dadi in qualsiasi ordine. Quindi i seguenti sono diversi modi per ottenere la stessa scala:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Sarebbe noioso elencare tutti i modi possibili per ottenere 1, 2, 3, 4 e 5. Dato che dobbiamo solo sapere quanti modi ci sono per farlo, possiamo usare alcune tecniche di conteggio di base. Notiamo che tutto ciò che stiamo facendo è permutare i cinque dadi. Ce ne sono 5! = 120 modi per farlo. Dato che ci sono due combinazioni di dadi per fare una scala grande e 120 modi per tirare ciascuno di questi, ci sono 2 x 120 = 240 modi per tirare una scala grande.

Probabilità

Ora la probabilità di tirare una grande scala è un semplice calcolo di divisione. Dato che ci sono 240 modi per tirare una grande scala in un singolo tiro e ci sono 7776 tiri da cinque dadi possibili, la probabilità di tirare una grande scala è 240/7776, che è vicino a 1/32 e 3,1%.

Certo, è più probabile che il primo lancio non sia una scala. In questo caso, ci sono consentiti altri due tiri che rendono molto più probabile una scala. La probabilità di ciò è molto più complicata da determinare a causa di tutte le possibili situazioni che dovrebbero essere prese in considerazione.