Qual è la differenza tra due set nella teoria degli insiemi?
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La differenza di due set, scritta UN - B è l'insieme di tutti gli elementi di UN che non sono elementi di B. L'operazione di differenza, insieme all'unione e all'intersezione, è un'operazione di teoria degli insiemi importante e fondamentale.
Descrizione della differenza
La sottrazione di un numero da un altro può essere pensata in molti modi diversi. Un modello per aiutare a comprendere questo concetto è chiamato modello di sottrazione da asporto. In questo, il problema 5 - 2 = 3 sarebbe dimostrato iniziando con cinque oggetti, rimuovendone due e contando che ne rimanevano tre. In un modo simile che troviamo la differenza tra due numeri, possiamo trovare la differenza di due insiemi.
Un esempio
Vedremo un esempio della differenza impostata. Per vedere come la differenza tra due insiemi costituisce un nuovo insieme, consideriamo gli insiemi UN = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Per trovare la differenza UN - B di questi due set, iniziamo scrivendo tutti gli elementi di UN, e quindi togliere ogni elemento di UN anche questo è un elemento di B. Da UN condivide gli elementi 3, 4 e 5 con B, questo ci dà la differenza prefissata UN - B = 1, 2.
L'ordine è importante
Proprio come le differenze 4 - 7 e 7 - 4 ci danno risposte diverse, dobbiamo stare attenti all'ordine in cui calcoliamo la differenza impostata. Per usare un termine tecnico della matematica, vorremmo dire che l'operazione di differenza impostata non è commutativa. Ciò significa che in generale non possiamo cambiare l'ordine della differenza di due serie e aspettarci lo stesso risultato. Possiamo affermarlo più precisamente per tutti i set UN e B, UN - B non è uguale a B - UN.
Per vedere questo, fai riferimento all'esempio sopra. Abbiamo calcolato che per i set UN = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, la differenza UN - B = 1, 2. Per confrontare questo B - UN, iniziamo con gli elementi di B, che sono 3, 4, 5, 6, 7, 8, quindi rimuovi 3, 4 e 5 perché sono in comune con UN. Il risultato è B - UN = 6, 7, 8. Questo esempio ce lo mostra chiaramente A - B non è uguale a B - A.
Il complemento
Una sorta di differenza è abbastanza importante da giustificare il proprio nome e simbolo speciali. Questo è chiamato complemento e viene utilizzato per la differenza di set quando il primo set è il set universale. Il complemento di UN è dato dall'espressione U - UN. Questo si riferisce all'insieme di tutti gli elementi dell'insieme universale che non sono elementi di UN. Dal momento che si comprende che l'insieme di elementi tra cui possiamo scegliere sono presi dall'insieme universale, possiamo semplicemente dire che il complemento di UN è l'insieme composto da elementi che non sono elementi di UN.
Il complemento di un set è relativo al set universale con cui stiamo lavorando. Con UN = 1, 2, 3 e U = 1, 2, 3, 4, 5, il complemento di UN è 4, 5. Se il nostro set universale è diverso, diciamo U = -3, -2, 0, 1, 2, 3, quindi il complemento di UN -3, -2, -1, 0. Assicurati sempre di prestare attenzione a quale set universale viene utilizzato.
Notazione per il complemento
La parola "complemento" inizia con la lettera C, quindi viene utilizzata nella notazione. Il complemento del set UN è scritto come UNC. Quindi possiamo esprimere la definizione del complemento in simboli come: UNC = U - UN.
Un altro modo comunemente usato per indicare il complemento di un set prevede un apostrofo, ed è scritto come UN'.
Altre identità che coinvolgono la differenza e i complementi
Esistono molte identità predefinite che implicano l'uso della differenza e le operazioni di complemento. Alcune identità combinano altre operazioni impostate come l'intersezione e l'unione. Alcuni dei più importanti sono indicati di seguito. Per tutti i set UN, e B e D noi abbiamo:
- UN - UN = ∅
- UN - ∅ = UN
- ∅ - UN = ∅
- UN - U = ∅
- (UNC)C = UN
- Legge di DeMorgan I: (UN ∩ B)C = UNC ∪ BC
- DeMorgan's Law II: (UN ∪ B)C = UNC ∩ BC
