Qual è la distribuzione binomiale negativa?

La distribuzione binomiale negativa è una distribuzione di probabilità che viene utilizzata con variabili casuali discrete. Questo tipo di distribuzione riguarda il numero di prove che devono aver luogo per avere un numero predeterminato di successi. Come vedremo, la distribuzione binomiale negativa è correlata alla distribuzione binomiale. Inoltre, questa distribuzione generalizza la distribuzione geometrica.

Le impostazioni

Inizieremo esaminando sia l'impostazione che le condizioni che danno origine a una distribuzione binomiale negativa. Molte di queste condizioni sono molto simili a un'impostazione binomiale.

1. Abbiamo un esperimento di Bernoulli. Ciò significa che ogni prova che eseguiamo ha un successo e un fallimento ben definiti e che questi sono gli unici risultati.
2. La probabilità di successo è costante, indipendentemente da quante volte eseguiamo l'esperimento. Indichiamo questa probabilità costante con a p.
3. L'esperimento è ripetuto per X studi indipendenti, il che significa che l'esito di uno studio non ha alcun effetto sull'esito di uno studio successivo. 

Queste tre condizioni sono identiche a quelle di una distribuzione binomiale. La differenza è che una variabile casuale binomiale ha un numero fisso di prove n.  Gli unici valori di X sono 0, 1, 2, ... , n, quindi questa è una distribuzione finita.

Una distribuzione binomiale negativa riguarda il numero di prove X che deve accadere fino a quando non avremo r successi. Il numero r è un numero intero che scegliamo prima di iniziare a svolgere le nostre prove. La variabile casuale X è ancora discreto. Tuttavia, ora la variabile casuale può assumere valori di X = r, r + 1, r + 2, ... Questa variabile casuale è numericamente infinita, in quanto potrebbe richiedere arbitrariamente molto tempo prima di ottenere r successi.

Esempio

Per dare un senso a una distribuzione binomiale negativa, vale la pena prendere in considerazione un esempio. Supponiamo di lanciare una moneta giusta e di porre la domanda "Qual è la probabilità che otteniamo tre teste nella prima X lanci di monete? "Questa è una situazione che richiede una distribuzione binomiale negativa. 

Il lancio della moneta ha due possibili esiti, la probabilità di successo è una costante 1/2 e le prove sono indipendenti l'una dall'altra. Chiediamo la probabilità di ottenere dopo le prime tre teste X lanci di monete. Quindi dobbiamo lanciare la moneta almeno tre volte. Continuiamo quindi a girare fino a quando appare la terza testa.

Per calcolare le probabilità relative a una distribuzione binomiale negativa, abbiamo bisogno di ulteriori informazioni. Dobbiamo conoscere la funzione della massa di probabilità.

Funzione di massa di probabilità

La funzione di massa di probabilità per una distribuzione binomiale negativa può essere sviluppata con un po 'di pensiero. Ogni prova ha una probabilità di successo data da p.  Poiché ci sono solo due possibili esiti, ciò significa che la probabilità di fallimento è costante (1 - p ).

Il ril successo deve avvenire per il Xe prova finale. Il precedente X - 1 prova deve contenere esattamente r - 1 successi. Il numero di modi in cui ciò può accadere è dato dal numero di combinazioni:

C (X - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!]. 

Inoltre, abbiamo eventi indipendenti e quindi possiamo moltiplicare le nostre probabilità insieme. Mettendo tutto questo insieme, otteniamo la funzione di massa di probabilità

f(X) = C (X - 1, r -1) p^r(1 - p)^{X - r}.

Il nome della distribuzione

Ora siamo in grado di capire perché questa variabile casuale ha una distribuzione binomiale negativa. Il numero di combinazioni che abbiamo incontrato sopra può essere scritto diversamente impostando x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! K!] = (r + k - 1) (x + k - 2)… (r + 1) (r) /K! = (-1)^K(-r) (- r - 1)… (-r - (k + 1) / k!.

Qui vediamo la comparsa di un coefficiente binomiale negativo, che viene utilizzato quando eleviamo un'espressione binomiale (a + b) a una potenza negativa.

Significare

La media di una distribuzione è importante da sapere perché è un modo per indicare il centro della distribuzione. La media di questo tipo di variabile casuale è data dal suo valore atteso ed è uguale a r / p.  Possiamo dimostrarlo attentamente usando la funzione di generazione del momento per questa distribuzione.

L'intuizione ci guida anche a questa espressione. Supponiamo di eseguire una serie di prove n₁ fino ad ottenere r successi. E poi lo facciamo di nuovo, solo questa volta ci vuole n₂ prove. Continuiamo ancora e ancora, fino a quando non avremo un gran numero di gruppi di prove N = n₁ + n₂  +... +  n_K.

Ognuno di questi K contiene prove r successi, e quindi abbiamo un totale di kr successi. Se N  è grande, quindi ci aspetteremmo di vedere Np successi. Quindi li equipariamo insieme e abbiamo kr = Np.

Facciamo un po 'di algebra e lo troviamo N / k = r / p.  La frazione sul lato sinistro di questa equazione è il numero medio di prove richieste per ciascuna delle nostre K gruppi di prove. In altre parole, questo è il numero previsto di volte per eseguire l'esperimento in modo da avere un totale di r successi. Questa è esattamente l'aspettativa che desideriamo trovare. Vediamo che questo è uguale alla formula r / p.

Varianza

La varianza della distribuzione binomiale negativa può anche essere calcolata utilizzando la funzione di generazione del momento. Quando lo facciamo, vediamo che la varianza di questa distribuzione è data dalla seguente formula:

r (1 - p) /p²

Funzione di generazione del momento

La funzione di generazione del momento per questo tipo di variabile casuale è piuttosto complicata. Ricordiamo che la funzione generatrice del momento è definita come il valore atteso E [e^tX]. Usando questa definizione con la nostra funzione di massa di probabilità, abbiamo:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] E^tXp^r(1 - p)^{X - r}

Dopo un po 'di algebra questo diventa M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Relazione con altre distribuzioni

Abbiamo visto sopra come la distribuzione binomiale negativa sia simile in molti modi alla distribuzione binomiale. Oltre a questa connessione, la distribuzione binomiale negativa è una versione più generale di una distribuzione geometrica.  

Una variabile casuale geometrica X conta il numero di prove necessarie prima che si verifichi il primo successo. È facile vedere che questa è esattamente la distribuzione binomiale negativa, ma con r uguale a uno.

Esistono altre formulazioni della distribuzione binomiale negativa. Alcuni libri di testo definiscono X essere il numero di prove fino al r si verificano guasti.

Esempio di problema

Esamineremo un problema di esempio per vedere come lavorare con la distribuzione binomiale negativa. Supponiamo che un giocatore di basket sia uno sparatutto a tiro libero dell'80%. Inoltre, supponi che fare un tiro libero sia indipendente dal fare il prossimo. Qual è la probabilità che per questo giocatore venga effettuato l'ottavo canestro al decimo tiro libero?

Vediamo che abbiamo un'impostazione per una distribuzione binomiale negativa. La costante probabilità di successo è 0,8, quindi la probabilità di fallimento è 0,2. Vogliamo determinare la probabilità di X = 10 quando r = 8.

Inseriamo questi valori nella nostra funzione di massa di probabilità:

f (10) = C (10 -1, 8-1) (0.8)⁸(0.2)²= 36 (0,8)⁸(0.2)², che è di circa il 24%.

Potremmo quindi chiedere qual è il numero medio di tiri liberi effettuati prima che questo giocatore ne faccia otto. Poiché il valore atteso è 8 / 0,8 = 10, questo è il numero di scatti.