Qual è la probabilità che tu abbia appena inalato una parte dell'ultimo respiro di Lincoln?

Inspira e poi espira. Qual è la probabilità che almeno una delle molecole che hai inalato sia stata una delle molecole del respiro finale di Abraham Lincoln? Questo è un evento ben definito e quindi ha una probabilità. La domanda è: quanto è probabile che ciò accada? Fai una pausa per un momento e pensa a quale numero sembra ragionevole prima di continuare a leggere.

ipotesi

Cominciamo con l'identificazione di alcuni presupposti. Queste ipotesi aiuteranno a giustificare alcuni passaggi nel nostro calcolo di questa probabilità. Partiamo dal presupposto che dalla morte di Lincoln, avvenuta oltre 150 anni fa, le molecole del suo ultimo respiro sono state distribuite uniformemente in tutto il mondo. Un secondo presupposto è che la maggior parte di queste molecole sono ancora parte dell'atmosfera e possono essere inalate.

Vale la pena notare a questo punto che questi due presupposti sono ciò che è importante, non che la persona a cui stiamo ponendo la domanda. Lincoln potrebbe essere sostituito con Napoleone, Gengis Khan o Giovanna d'Arco. Finché è trascorso abbastanza tempo per diffondere il respiro finale di una persona e per far respirare il respiro finale nell'atmosfera circostante, sarà valida la seguente analisi.

Uniforme

Inizia selezionando una singola molecola. Supponiamo che ci siano un totale di UN molecole d'aria nell'atmosfera del mondo. Inoltre, supponiamo che ci fossero B molecole d'aria espirate da Lincoln nel suo ultimo respiro. Per assunzione uniforme, la probabilità che una singola molecola d'aria che inspiri fosse parte dell'ultimo respiro di Lincoln è B/UN. Quando confrontiamo il volume di un singolo respiro con il volume dell'atmosfera, vediamo che questa è una probabilità molto piccola.

Regola del complemento

Quindi usiamo la regola del complemento. La probabilità che qualsiasi particolare molecola che inali non facesse parte dell'ultimo respiro di Lincoln è 1 - B/UN. Questa probabilità è molto grande.

Regola di moltiplicazione

Fino ad ora consideriamo solo una molecola particolare. Tuttavia, il respiro finale di una persona contiene molte molecole d'aria. Quindi consideriamo diverse molecole usando la regola di moltiplicazione.

Se inaliamo due molecole, la probabilità che nessuna delle due facesse parte dell'ultimo respiro di Lincoln è:

(1 - B/UN) (1 - B/UN) = (1 - B/UN)²

Se inaliamo tre molecole, la probabilità che nessuna facesse parte dell'ultimo respiro di Lincoln è:

(1 - B/UN) (1 - B/UN) (1 - B/UN) = (1 - B/UN)³

In generale, se inspiriamo N molecole, la probabilità che nessuno facesse parte dell'ultimo respiro di Lincoln è:

(1 - B/UN)^N.

Regola di nuovo il complemento

Usiamo di nuovo la regola del complemento. La probabilità che esca almeno una molecola N è stato espirato da Lincoln è:

1 - (1 - B/UN)^N.