La probabilità di lanciare uno Yahtzee

Yahtzee è un gioco di dadi che coinvolge una combinazione di possibilità e strategia. Un giocatore inizia il proprio turno lanciando cinque dadi. Dopo questo lancio, il giocatore può decidere di ripetere il tiro di qualsiasi numero di dadi. Al massimo, ci sono un totale di tre tiri per turno. Dopo questi tre tiri, il risultato dei dadi viene inserito in un foglio di punteggio. Questo foglio di punteggio contiene diverse categorie, come un full o un grande straight. Ciascuna delle categorie è soddisfatta con diverse combinazioni di dadi.

La categoria più difficile da compilare è quella di uno Yahtzee. Uno Yahtzee si verifica quando un giocatore lancia cinque dello stesso numero. Quanto è improbabile uno Yahtzee? Questo è un problema molto più complicato rispetto alla ricerca di probabilità per due o addirittura tre dadi. Il motivo principale è che ci sono molti modi per ottenere cinque dadi corrispondenti durante tre tiri.

Possiamo calcolare la probabilità di lanciare uno Yahtzee usando la formula combinatoria per le combinazioni e suddividendo il problema in diversi casi reciprocamente esclusivi.

Un rotolo

Il caso più semplice da considerare è ottenere uno Yahtzee immediatamente sul primo tiro. Vedremo prima la probabilità di ottenere un particolare Yahtzee di cinque o due volte, quindi estenderemo facilmente questo alla probabilità di qualsiasi Yahtzee.

La probabilità di tirare un due è 1/6 e il risultato di ogni dado è indipendente dal resto. Pertanto la probabilità di ottenere cinque doppi è (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. La probabilità di ottenere cinque di un tipo di qualsiasi altro numero è anche 1/7776. Dato che ci sono un totale di sei numeri diversi su un dado, moltiplichiamo la probabilità sopra per 6.

Ciò significa che la probabilità di uno Yahtzee sul primo tiro è 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 percento.

Due rotoli

Se lanciamo qualcosa di diverso da cinque di un tipo del primo lancio, dovremo ritirare alcuni dei nostri dadi per cercare di ottenere uno Yahtzee. Supponiamo che il nostro primo lancio ne abbia quattro. vorremmo ripetere il tiro di un dado che non corrisponde e quindi ottenere uno Yahtzee in questo secondo tiro.

La probabilità di ottenere un totale di cinque due in questo modo si trova come segue:

1. Al primo tiro, abbiamo quattro due. Poiché esiste una probabilità 1/6 di ottenere un due e 5/6 di non ottenere un due, moltiplichiamo (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Uno qualsiasi dei cinque dadi lanciati potrebbe essere il non-due. Usiamo la nostra formula di combinazione per C (5, 1) = 5 per contare il numero di modi in cui possiamo tirare quattro o due e qualcosa che non è un due.
3. Moltiplichiamo e vediamo che la probabilità di ottenere esattamente quattro doppi sul primo lancio è 25/7776.
4. Nel secondo tiro, dobbiamo calcolare la probabilità di rotolare uno due. Questo è 1/6. Quindi la probabilità di ottenere uno Yahtzee di due nel modo sopra è (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Per trovare la probabilità di lanciare uno Yahtzee in questo modo si trova moltiplicando la probabilità sopra per 6 perché ci sono sei numeri diversi su un dado. Ciò dà una probabilità di 6 x 25/46656 = 0,32 percento.

Ma questo non è l'unico modo per tirare uno Yahtzee con due tiri. Tutte le seguenti probabilità si trovano più o meno allo stesso modo di cui sopra:

• Potremmo tirare tre di un tipo, e poi due dadi che corrispondono al nostro secondo lancio. La probabilità di questo è 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 percento.
• Potremmo tirare una coppia corrispondente e sul nostro secondo tiro tre dadi corrispondenti. La probabilità di questo è 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 percento.
• Potremmo lanciare cinque dadi diversi, salvare un dado dal nostro primo lancio, quindi tirare quattro dadi corrispondenti al secondo lancio. La probabilità di ciò è (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 percento.

I casi precedenti si escludono a vicenda. Ciò significa che per calcolare la probabilità di lanciare uno Yahtzee in due tiri, sommiamo insieme le probabilità di cui sopra e abbiamo circa l'1,23 percento.

Tre rotoli

Per la situazione più complicata, esamineremo ora il caso in cui utilizziamo tutti e tre i nostri tiri per ottenere uno Yahtzee. Potremmo farlo in diversi modi e dobbiamo tener conto di tutti loro.

Le probabilità di queste possibilità sono calcolate di seguito: