Qual è l'insieme vuoto nella teoria degli insiemi?

Quando nulla può essere qualcosa? Sembra una domanda sciocca e abbastanza paradossale. Nel campo matematico della teoria degli insiemi, è normale che niente sia altro che niente. Come può essere?

Quando formiamo un set senza elementi, non abbiamo più nulla. Abbiamo un set con niente dentro. C'è un nome speciale per il set che non contiene elementi. Questo si chiama set vuoto o nullo.

Una sottile differenza

La definizione dell'insieme vuoto è abbastanza sottile e richiede un po 'di pensiero. È importante ricordare che pensiamo a un set come a una raccolta di elementi. L'insieme stesso è diverso dagli elementi che contiene.

Ad esempio, esamineremo 5, che è un set contenente l'elemento 5. Il set 5 non è un numero. È un insieme con il numero 5 come elemento, mentre 5 è un numero.

Allo stesso modo, l'insieme vuoto non è niente. Invece, è l'insieme senza elementi. Aiuta a pensare agli insiemi come contenitori e gli elementi sono quelle cose che mettiamo in essi. Un contenitore vuoto è ancora un contenitore ed è analogo all'insieme vuoto.

L'unicità dell'insieme vuoto

Il set vuoto è unico, motivo per cui è del tutto appropriato parlarne il set vuoto, piuttosto che un set vuoto. Ciò rende il set vuoto distinto dagli altri set. Ci sono infiniti set con un solo elemento. Gli insiemi a, 1, b e 123 hanno ciascuno un elemento e quindi sono equivalenti tra loro. Poiché gli elementi stessi sono diversi l'uno dall'altro, gli insiemi non sono uguali.

Non c'è niente di speciale negli esempi sopra ciascuno con un elemento. Con una sola eccezione, per qualsiasi numero di conteggio o infinito, ci sono infiniti insiemi di quella dimensione. L'eccezione è per il numero zero. C'è solo un set, il set vuoto, senza elementi.

La prova matematica di questo fatto non è difficile. Partiamo dal presupposto che l'insieme vuoto non sia univoco, che ci siano due insiemi senza elementi, quindi utilizziamo alcune proprietà della teoria degli insiemi per dimostrare che questa ipotesi implica una contraddizione.

Notazione e terminologia per il set vuoto

Il set vuoto è indicato dal simbolo ∅, che deriva da un simbolo simile nell'alfabeto danese. Alcuni libri fanno riferimento all'insieme vuoto con il nome alternativo dell'insieme null.

Proprietà dell'insieme vuoto

Poiché esiste un solo set vuoto, vale la pena vedere cosa succede quando le operazioni set di intersezione, unione e complemento vengono utilizzate con il set vuoto e un set generale che indicheremo con X. È anche interessante considerare un sottoinsieme dell'insieme vuoto e quando l'insieme vuoto è un sottoinsieme. Questi fatti sono raccolti di seguito:

• L'intersezione di qualsiasi set con il set vuoto è il set vuoto. Questo perché non ci sono elementi nel set vuoto e quindi i due set non hanno elementi in comune. Nei simboli, scriviamo X ∩ ∅ = ∅.
• L'unione di qualsiasi set con il set vuoto è il set con cui abbiamo iniziato. Questo perché non ci sono elementi nell'insieme vuoto, e quindi non stiamo aggiungendo alcun elemento all'altro insieme quando formiamo l'unione. Nei simboli, scriviamo X U ∅ = X.
• Il complemento dell'insieme vuoto è l'insieme universale per l'impostazione in cui stiamo lavorando. Questo perché l'insieme di tutti gli elementi che non si trovano nell'insieme vuoto è solo l'insieme di tutti gli elementi.
• Il set vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi set. Questo perché formiamo sottoinsiemi di un set X selezionando (o non selezionando) gli elementi da X. Un'opzione per un sottoinsieme è di non utilizzare alcun elemento da X. Questo ci dà il set vuoto.